凝聚距离矩阵是如何工作的？（pdist）

Question

scipy.spatial.distance.pdist返回压缩距离矩阵。来自the documentation：

Returns a condensed distance matrix Y. For each and (where ), the metric dist(u=X[i], v=X[j]) is computed and stored in entry ij.

我以为ij是指i*j。但我想我可能错了。考虑

X = array([[1,2], [1,2], [3,4]])
dist_matrix = pdist(X)

然后文件上说dist(X[0], X[2])应该是dist_matrix[0*2]。但是，dist_matrix[0*2]是0——而不是应该是2.8。

给定i和j，我应该使用什么公式来访问两个向量的相似性？

Answer 1

你可以这样看：假设x是m乘n。一次选择两个m行的可能对是itertools.combinations(range(m), 2)，例如，对于m=3：

>>> import itertools
>>> list(combinations(range(3),2))
[(0, 1), (0, 2), (1, 2)]

因此，如果d = pdist(x)，combinations(range(m), 2))中的第k元组给出与d[k]相关联的x行的索引。

示例：

>>> x = array([[0,10],[10,10],[20,20]])
>>> pdist(x)
array([ 10.        ,  22.36067977,  14.14213562])

第一个元素是dist(x[0], x[1])，第二个是dist(x[0], x[2])，第三个是dist(x[1], x[2])。

或者可以将其视为平方距离矩阵的上三角部分中的元素，并串成一维数组。

例如

>>> squareform(pdist(x)) 
array([[  0.   ,  10.   ,  22.361],
       [ 10.   ,   0.   ,  14.142],
       [ 22.361,  14.142,   0.   ]])

>>> y = array([[0,10],[10,10],[20,20],[10,0]])
>>> squareform(pdist(y)) 
array([[  0.   ,  10.   ,  22.361,  14.142],
       [ 10.   ,   0.   ,  14.142,  10.   ],
       [ 22.361,  14.142,   0.   ,  22.361],
       [ 14.142,  10.   ,  22.361,   0.   ]])
>>> pdist(y)
array([ 10.   ,  22.361,  14.142,  14.142,  10.   ,  22.361])

Answer 2

压缩矩阵的向量对应于平方矩阵的下三角区域。若要转换该三角形区域中的某个点，需要计算三角形中左侧的点数和列中上方的点数。

可以使用以下函数进行转换：

q = lambda i,j,n: n*j - j*(j+1)/2 + i - 1 - j

检查：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
x = np.random.uniform( size = 100 ).reshape( ( 50, 2 ) )
d = pdist( x )
ds = squareform( d )
for i in xrange( 1, 50 ):
    for j in xrange( i ):
        assert ds[ i, j ] == d[ q( i, j, 50 ) ]

Answer 3

压缩距离矩阵到全距离矩阵

pdist返回的压缩距离矩阵可以通过使用scipy.spatial.distance.squareform转换为全距离矩阵：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
>>> points = np.array([[0,1],[1,1],[3,5], [15, 5]])
>>> dist_condensed = pdist(points)
>>> dist_condensed
array([  1.        ,   5.        ,  15.5241747 ,   4.47213595,
        14.56021978,  12.        ])

使用squareform转换为完整矩阵：

>>> dist = squareform(dist_condensed)
array([[  0.        ,   1.        ,   5.        ,  15.5241747 ],
       [  1.        ,   0.        ,   4.47213595,  14.56021978],
       [  5.        ,   4.47213595,   0.        ,  12.        ],
       [ 15.5241747 ,  14.56021978,  12.        ,   0.        ]])

点i，j之间的距离存储在dist[i，j]中：

>>> dist[2, 0]
5.0
>>> np.linalg.norm(points[2] - points[0])
5.0

指数到凝聚指数

可以将用于访问平方矩阵元素的索引转换为压缩矩阵中的索引：

def square_to_condensed(i, j, n):
    assert i != j, "no diagonal elements in condensed matrix"
    if i < j:
        i, j = j, i
    return n*j - j*(j+1)/2 + i - 1 - j

示例：

>>> square_to_condensed(1, 2, len(points))
3
>>> dist_condensed[3]
4.4721359549995796
>>> dist[1,2]
4.4721359549995796

索引的压缩索引

另外，如果没有sqaureform（在运行时和内存消耗方面更好），另一个方向也是可能的：

import math

def calc_row_idx(k, n):
    return int(math.ceil((1/2.) * (- (-8*k + 4 *n**2 -4*n - 7)**0.5 + 2*n -1) - 1))

def elem_in_i_rows(i, n):
    return i * (n - 1 - i) + (i*(i + 1))/2

def calc_col_idx(k, i, n):
    return int(n - elem_in_i_rows(i + 1, n) + k)

def condensed_to_square(k, n):
    i = calc_row_idx(k, n)
    j = calc_col_idx(k, i, n)
    return i, j

示例：

>>> condensed_to_square(3, 4)
(1.0, 2.0)

运行时与squareform的比较

>>> import numpy as np
>>> from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
>>> points = np.random.random((10**4,3))
>>> %timeit dist_condensed = pdist(points)
1 loops, best of 3: 555 ms per loop

创建sqaureform的过程非常缓慢：

>>> dist_condensed = pdist(points)
>>> %timeit dist = squareform(dist_condensed)
1 loops, best of 3: 2.25 s per loop

如果我们用最大距离搜索两点，在全矩阵中搜索是O（n），而在压缩形式中搜索只有O（n/2），这并不奇怪：

>>> dist = squareform(dist_condensed)
>>> %timeit dist_condensed.argmax()
10 loops, best of 3: 45.2 ms per loop
>>> %timeit dist.argmax()
10 loops, best of 3: 93.3 ms per loop

在这两种情况下，获取两点的最小值几乎不需要时间，但计算压缩索引当然会有一些开销：

>>> idx_flat = dist.argmax()
>>> idx_condensed = dist.argmax()
>>> %timeit list(np.unravel_index(idx_flat, dist.shape))
100000 loops, best of 3: 2.28 µs per loop
>>> %timeit condensed_to_square(idx_condensed, len(points))
100000 loops, best of 3: 14.7 µs per loop