一维离散傅里叶逆变换是如何用numpy计算的？

Question

我有一个复数数组（waves），其顺序与fft返回的相同。如果我对这个数组调用ifft，它将返回原始样本的近似值。在

我想自己用python实现ifft。我找到了the formula of IFFT。我实现了它，但它看起来与ifft结果有点不同。我试图通过查看ifft source来修复它，但这是一个经过大量优化的版本，我无法了解它是如何工作的

到目前为止，我得到的是：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.fftpack import fft

# create samples
data = np.zeros(1024)
for k in range(0, 1024):
    data[k] = np.sin(k/20 * np.pi*2)

# plot original samples
#plt.plot(data)
#plt.show()

# apply FFT on samples
waves = fft(data)

# plot FFT result
#plt.plot(np.imag(waves),'r')
#plt.plot(np.real(waves),'b')
#plt.ylabel('value')
#plt.xlabel('period')
#plt.show()

# 
res = np.zeros(1024)
for k in range(0, 1024):
    val = 0.0
    for n in range(0, len(waves)-1):
        # https://dsp.stackexchange.com/a/510/25943
        val += waves[n]*np.exp(-1.j * 2*np.pi * n * k / len(waves)) / len(waves)
    res[k] = val.real


#np implementation
res2 = np.fft.ifft(waves)

plt.plot(data, 'b') # original
plt.plot(res,'g') # my implementation
plt.plot(res2,'y') # np implementation
plt.show()

也许零频率项和负频率项的处理方法不同。我不确定这一点，因为在傅里叶变换的任何描述中都没有提到

Answer 1

这里只有两个错误：

for n in range(0, len(waves)-1):

应该是

^{pr2}$

因为range不包括其上限（这与基于0的索引一起，使得实现FFT类型的算法比Matlab更容易一些）。在

还有

val += waves[n]*np.exp(-1.j * 2*np.pi * n * k / len(waves)) 

应该是

val += waves[n]*np.exp(1.j * 2*np.pi * n * k / len(waves)) 

符号约定不同；在NumPy中，直接变换有-1j，逆变换有1j

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当然，整个过程效率很低，但你可能想自己详细地写出来。NumPy的向量化操作将正常使用，从

data = np.zeros(1024)
for k in range(0, 1024):
    data[k] = np.sin(k/20 * np.pi*2)

被取代的

data = np.sin(np.arange(1024)/20 * np.pi*2)

其他回路也一样。在