如何在Python中进行指数和对数曲线拟合？我只找到多项式拟合

Question

我有一组数据，我想比较哪一行描述得最好（不同阶的多项式，指数或对数）。

我使用Python和Numpy，对于多项式拟合，有一个函数polyfit()。但我没有发现指数和对数拟合的函数。

有吗？不然怎么解决呢？

Answer 1

为了拟合y=A+Blogx，只需拟合y对（logx）。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

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为了拟合y=Ae^Bx，取两边的对数，得出logy=logA+Bx。因此，将（logy）与x进行拟合。

注意，拟合（logy）如果是线性的，将强调y的小值，从而导致大y的大偏差。这是因为polyfit（线性回归）的工作原理是最小化∑_i（ΔY）²=∑_i（Y_i-_i）²。>i|。因此，即使polyfit对大的y做出了一个非常糟糕的决定，“除以-|y}”因子也会对其进行补偿，从而导致polyfit倾向于较小的值。

这可以通过给每个条目一个与y成比例的“权重”来缓解。polyfit通过w关键字参数支持加权最小二乘法。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

请注意，Excel、LibreOffice和大多数科学计算器通常使用指数回归/趋势线的未加权（有偏）公式。如果希望结果与这些平台兼容，即使提供更好的结果，也不要包含权重。

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现在，如果可以使用scipy，则可以使用^{}来适应任何模型，而无需转换。

对于y=A+Blogx结果与转换方法相同：

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

对于y=Ae^Bx，由于它直接计算Δ（logy），我们可以得到更好的拟合。但我们需要提供一个初始化猜测，以便curve_fit可以达到所需的本地最小值。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

Answer 2

我有一些麻烦，所以让我非常明确，这样像我这样的人可以理解。

假设我们有一个数据文件之类的

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

结果是： a=0.849195983017，b=-1.18101681765，c=2.24061176543，d=0.816643894816

Answer 3

您还可以使用scipy.optimize中的curve_fit将一组数据适合您喜欢的任何函数。例如，如果要拟合指数函数（来自documentation）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

如果你想绘图，你可以：

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

（注意：绘图时*前面的popt将扩展到a、b和c中，这是func所期望的。）