用Python求解矩阵形式的非线性方程组

Question

我试图解一个非线性方程组，形式为AX=X，其中

A=M乘M矩阵

X=M×1矩阵

因此，我总共有M（=200）个方程（和M个未知数）。在

更具体地说

A=[f11（x，y）f12（x，y）。。。。1米（x，y）

 f21(x,y) f22(x,y) .....f2m(x,y),

 ..        ..           ..

 fm1(x,y) fm2(x,y) .... fmm(x,y)]

X=[V1

^{pr2}$

因此，X有M-2未知（V1，V2。。。Vm-1）和A有两个（x和y）。A的元素是x和y的线性函数

我做了家庭作业scipy.F溶剂以及sympy.n保存但他们似乎不接受矩阵格式的方程式。另外，由于有200个方程，而且每个方程都有所有未知量，因此逐个消除变量是不切实际的。在

我对python比较陌生，所以非常感谢您的帮助。在

谢谢

Answer 1

设f_ij（x，y）=a_ix+b_jy。设a=（a₁，…，a_m），b=（b₁，…，b_m），v=（v₁。。。V_m-2，1/3，1/3）为实列向量。那么

A=[f_ij（x，y）]_m×m =[a_ix+b_jy]_m×m =[a_ix]_m×1[b_jy]_1×m =（[a_i]_m×1x）（[b_j]_1×my）

你的方程是Av=v，或者Av=Iv（其中I是m×m的单位矩阵），所以你要解（A-I）v=0。这让人想起特征值问题。这个特征值问题的characteristic equation是0=det（A-I）=det（（[A_I]_m×1x）（[b_j]_1×my）-I），其中det是行列式（我将特征值固定在1）。在

一种可能的方法是数值求解x和y的det（（[A_i]_m×1x）（[b_j]_1×my）-i）=0（使用寻根算法，如Newton's method），得到一个常数矩阵A

下一步，返回并使用线性方程解算器求解（a-I）v=0，使用数值求解的常数矩阵a求出v₁，v₂，…，v_m-2。不幸的是，这并不能在v的底部保留1/3常数，所以您必须返回并重复上一步几次，直到得到最后两个值的近似于1/3的矩阵a。在

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另一种解决方案是把整个问题都放在非线性方程求解器中。这种方法比我上面解释的方法要慢。在