将曲线拟合到散射体的边界

Question

我试着把曲线拟合到散点图的边界上。See this image for reference。

我已经完成了以下（简化）代码的拟合。它将数据帧分成小的垂直条带，然后在宽度为width的条带中找到最小值，忽略{}s（函数是单调递减的）

def func(val):
    """ returns some function of 'val'"""
    return val * 2

for i in range(0, max_val, width)):
    _df = df[(df.val > i) & (df.val < i + width)] # vertical slice
    if np.isnan(np.min(func(_df.val)):            # ignore nans
        continue
    xs.append(i + width)                         
    ys.append(np.min(func(_df.val)))

然后我用scipy.optimize.curve_fit进行拟合。我有没有一个更自然的方法来提高我的准确性呢？（例如，通过对具有更高密度点的散点图区域赋予更高权重？）在

Answer 1

我发现这个问题很有趣，所以决定试一试。我不知道pythonic或natural，但我认为我找到了一种更精确的方法，可以在使用来自每个点的信息时，将边缘拟合到像您这样的数据集。在

首先，让我们生成一个随机数据，它看起来像您所展示的那样。这一部分可以很容易地跳过，我发布它只是为了使代码是完整的和可复制的。我用了两个二元正态分布来模拟那些超敏感，并在它们上面撒上一层均匀分布的随机点。然后把它们加到一个类似于你的直线方程中，线下的一切都被截断，最终结果如下：

下面是制作它的代码片段：

import numpy as np

x_res = 1000
x_data = np.linspace(0, 2000, x_res)

# true parameters and a function that takes them
true_pars = [80, 70, -5]
model = lambda x, a, b, c: (a / np.sqrt(x + b) + c)
y_truth = model(x_data, *true_pars)

mu_prim, mu_sec = [1750, 0], [450, 1.5]
cov_prim = [[300**2, 0     ],
            [     0, 0.2**2]]
# covariance matrix of the second dist is trickier
cov_sec = [[200**2, -1     ],
           [    -1,  1.0**2]]
prim = np.random.multivariate_normal(mu_prim, cov_prim, x_res*10).T
sec = np.random.multivariate_normal(mu_sec, cov_sec, x_res*1).T
uni = np.vstack([x_data, np.random.rand(x_res) * 7])

# censoring points that will end up below the curve
prim = prim[np.vstack([[prim[1] > 0], [prim[1] > 0]])].reshape(2, -1)
sec = sec[np.vstack([[sec[1] > 0], [sec[1] > 0]])].reshape(2, -1)

# rescaling to data
for dset in [uni, sec, prim]:
    dset[1] += model(dset[0], *true_pars)

# this code block generates the figure above:
import matplotlib.pylab as plt
plt.figure()
plt.plot(prim[0], prim[1], '.', alpha=0.1, label = '2D Gaussian #1')
plt.plot(sec[0], sec[1], '.', alpha=0.5, label = '2D Gaussian #2')
plt.plot(uni[0], uni[1], '.', alpha=0.5, label = 'Uniform')
plt.plot(x_data, y_truth, 'k:', lw = 3, zorder = 1.0, label = 'True edge')
plt.xlim(0, 2000)
plt.ylim(-8, 6)
plt.legend(loc = 'lower left')
plt.show()

# mashing it all together
dset = np.concatenate([prim, sec, uni], axis = 1)

现在我们有了数据和模型，我们可以集体讨论如何拟合点分布的边缘。常用的回归方法如非线性最小二乘法scipy.optimize.curve_fit取数据值y，并优化模型的自由参数，使y和{}之间的残差最小。非线性最小二乘法是一个迭代过程，它在每一步都试图改变曲线参数，以提高每一步的拟合度。很明显，这是我们不想做的一件事，因为我们希望我们的最小化程序尽可能远离最佳拟合曲线（但不要太远）。在

因此，让我们考虑以下函数。也就是说，在每一步的迭代中，都会简单地将这些因子倒转。这样，曲线下面的点总是比上面的点多，这样每次迭代都会使曲线向下移动！一旦达到最低点，函数的最小值就被找到，散射的边缘也是如此。当然，这种方法假设曲线下没有异常值，但你的数据似乎不会受到太大影响。在

以下是实现此想法的功能：

^{pr2}$

让我们看看如何查找上面的数据：

# plotting the mock data
plt.plot(dset[0], dset[1], '.', alpha=0.2, label = 'Test data')

# mask bad data (we accidentaly generated some NaN values)
gmask = np.isfinite(dset[1])
dset = dset[np.vstack([gmask, gmask])].reshape((2, -1))

from scipy.optimize import leastsq
guesses =[100, 100, 0]
fit_pars, flag = leastsq(func = flipped_resid, x0 = guesses,
                         args = (dset[0], dset[1]))
# plot the fit:
y_fit = model(x_data, *fit_pars)
y_guess = model(x_data, *guesses)
plt.plot(x_data, y_fit, 'r-', zorder = 0.9, label = 'Edge')
plt.plot(x_data, y_guess, 'g-', zorder = 0.9, label = 'Guess')
plt.legend(loc = 'lower left')
plt.show()

上面最重要的部分是对leastsq函数的调用。确保你对最初的猜测很小心-如果猜测没有落在分散上，模型可能无法正确收敛。在做出适当的猜测之后。。。在

喂！边缘与真实的边缘完全吻合。在

Answer 2

这是一个有趣的问题，我也在尝试解决（并在python中实现它）

我认为，与其取min，不如取k-最低（或k-最高）数据点的平均值，然后拟合平均值（还应检查拟合参数是否鲁棒w.r.tk）。 例如，您可以在supplements中找到这个想法 这件事 PNAS paper。在