马尔可夫链平稳分布稀稀拉拉的？

Question

我有一个马尔可夫链作为一个大的稀疏矩阵scipy矩阵{}。（我已经构造了scipy.sparse.dok_matrix格式的矩阵，但是转换成其他格式或者将其构造为csc_matrix都可以。）

我想知道这个矩阵的任何平稳分布p，它是特征值1的特征向量。这个特征向量中的所有条目都应该是正的，加起来等于1，以表示概率分布。在

这意味着我需要系统的任何解决方案 (A-I) p = 0，p.sum()=1（其中I=scipy.sparse.eye(*A.shape)是恒等矩阵），但是{}不是满秩的，甚至整个系统都可能是欠定的。此外，还可以生成带有负项的特征向量，这些特征向量不能规范化为有效的概率分布。防止p中的负条目会很好。在

• 使用scipy.sparse.linalg.eigen.eigs不是解决方案： 它不允许指定加法约束。（如果特征向量包含负项，则规范化没有帮助。）此外，它与实际结果有相当大的偏差，有时会出现收敛问题，表现得比scipy.linalg.eig更糟糕。（另外，我使用了移位-反转模式，它可以改进我想要的特征值类型的查找，但不能改进其质量。如果我不使用它，那就更过分了，因为我只对一个特定的特征值感兴趣，1。）

• 转换为稠密矩阵并使用scipy.linalg.eig并不是一个解决方案：除了负输入问题外，矩阵太大。

• 使用scipy.sparse.spsolve不是一个明显的解决方案： 矩阵要么不是正方形（当结合加性约束和特征向量条件时），要么不是满秩（当试图以某种方式分别指定它们时），有时两者都不是。

有没有一种好的方法可以用python数值求解一个以稀疏矩阵形式给出的Markov链的平稳状态？ 如果有一种方法可以得到一个详尽的列表（也可能是几乎静止的状态），这是值得赞赏的，但不是必要的。在

Answer 1

解决了固定解不是唯一的，解可能不是非负的这一点。在

这意味着你的马尔可夫链不是不可约的，你可以把问题分解成不可约的马尔可夫链。为此，您需要找到Markov链的封闭通信类，这本质上是对转移图中的连接组件的研究（Wikipedia建议使用一些线性算法来查找强连接组件）。此外，您可以通过所有开放的通信类，因为每个静止状态必须消失在这些类上。在

如果你有你的封闭通讯类Cˉ1，…，你的问题有希望被分成几个小的简单部分：每个封闭类Cˉi上的马尔可夫链现在是不可约的，因此，受限转移矩阵M峈i只有一个特征值为0的特征向量，且该特征向量只有正分量（参见Perron-Frobenius定理）。因此我们只有一个稳态x

你的整个马尔可夫链的平稳态现在都是封闭类的x_i的线性组合。事实上，这些都是静止态。在

为了找到稳定态x，你可以连续地应用Méi，迭代会收敛到这个状态（这也会保持你的正规化）。一般来说，很难判断收敛速度，但它提供了一种简单的方法来提高解的精度和验证解。在

Answer 2

这是在求解一个可能未指定的矩阵方程，因此可以用scipy.sparse.linalg.lsqr来完成。我不知道如何确保所有条目都是正的，但除此之外，它非常简单。在

import scipy.sparse.linalg
states = A.shape[0]

# I assume that the rows of A sum to 1.
# Therefore, In order to use A as a left multiplication matrix,
# the transposition is necessary.
eigvalmat = (A - scipy.sparse.eye(states)).T
probability_distribution_constraint = scipy.ones((1, states))

lhs = scipy.sparse.vstack(
    (eigvalmat,
     probability_distribution_constraint))

B = numpy.zeros(states+1)
B[-1]=1

r = scipy.sparse.linalg.lsqr(lhs, B)
# r also contains metadata about the approximation process
p = r[0]

Answer 3

谷歌学者（Google scholar）提供了几篇文章，总结了可能的方法，以下是其中一篇： http://www.ima.umn.edu/preprints/pp1992/932.pdf

下面所做的是上面@Helge Dietert关于先拆分为强连接组件的建议，以及上面链接的论文中的方法4。在

import numpy as np
import time

# NB. Scipy >= 0.14.0 probably required
import scipy
from scipy.sparse.linalg import gmres, spsolve
from scipy.sparse import csgraph
from scipy import sparse 


def markov_stationary_components(P, tol=1e-12):
    """
    Split the chain first to connected components, and solve the
    stationary state for the smallest one
    """
    n = P.shape[0]

    # 0. Drop zero edges
    P = P.tocsr()
    P.eliminate_zeros()

    # 1. Separate to connected components
    n_components, labels = csgraph.connected_components(P, directed=True, connection='strong')

    # The labels also contain decaying components that need to be skipped
    index_sets = []
    for j in range(n_components):
        indices = np.flatnonzero(labels == j)
        other_indices = np.flatnonzero(labels != j)

        Px = P[indices,:][:,other_indices]
        if Px.max() == 0:
            index_sets.append(indices)
    n_components = len(index_sets)

    # 2. Pick the smallest one
    sizes = [indices.size for indices in index_sets]
    min_j = np.argmin(sizes)
    indices = index_sets[min_j]

    print("Solving for component {0}/{1} of size {2}".format(min_j, n_components, indices.size))

    # 3. Solve stationary state for it
    p = np.zeros(n)
    if indices.size == 1:
        # Simple case
        p[indices] = 1
    else:
        p[indices] = markov_stationary_one(P[indices,:][:,indices], tol=tol)

    return p


def markov_stationary_one(P, tol=1e-12, direct=False):
    """
    Solve stationary state of Markov chain by replacing the first
    equation by the normalization condition.
    """
    if P.shape == (1, 1):
        return np.array([1.0])

    n = P.shape[0]
    dP = P - sparse.eye(n)
    A = sparse.vstack([np.ones(n), dP.T[1:,:]])
    rhs = np.zeros((n,))
    rhs[0] = 1

    if direct:
        # Requires that the solution is unique
        return spsolve(A, rhs)
    else:
        # GMRES does not care whether the solution is unique or not, it
        # will pick the first one it finds in the Krylov subspace
        p, info = gmres(A, rhs, tol=tol)
        if info != 0:
            raise RuntimeError("gmres didn't converge")
        return p


def main():
    # Random transition matrix (connected)
    n = 100000
    np.random.seed(1234)
    P = sparse.rand(n, n, 1e-3) + sparse.eye(n)
    P = P + sparse.diags([1, 1], [-1, 1], shape=P.shape)

    # Disconnect several components
    P = P.tolil()
    P[:1000,1000:] = 0
    P[1000:,:1000] = 0

    P[10000:11000,:10000] = 0
    P[10000:11000,11000:] = 0
    P[:10000,10000:11000] = 0
    P[11000:,10000:11000] = 0

    # Normalize
    P = P.tocsr()
    P = P.multiply(sparse.csr_matrix(1/P.sum(1).A))

    print("*** Case 1")
    doit(P)

    print("*** Case 2")
    P = sparse.csr_matrix(np.array([[1.0, 0.0, 0.0, 0.0],
                                    [0.5, 0.5, 0.0, 0.0],
                                    [0.0, 0.0, 0.5, 0.5],
                                    [0.0, 0.0, 0.5, 0.5]]))
    doit(P)

def doit(P):
    assert isinstance(P, sparse.csr_matrix)
    assert np.isfinite(P.data).all()

    print("Construction finished!")

    def check_solution(method):
        print("\n\n-- {0}".format(method.__name__))
        start = time.time()
        p = method(P)
        print("time: {0}".format(time.time() - start))
        print("error: {0}".format(np.linalg.norm(P.T.dot(p) - p)))
        print("min(p)/max(p): {0}, {1}".format(p.min(), p.max()))
        print("sum(p): {0}".format(p.sum()))

    check_solution(markov_stationary_components)


if __name__ == "__main__":
    main()

编辑：发现一个错误--csgraph.connected_组件还返回需要过滤掉的纯衰减组件。在