用Cai绘制夹持均匀三次Bspline

Question

我有一组坐标，它们是二维平面上固定的均匀三次B样条曲线的控制点。我想用Cairo调用绘制这个曲线（在Python中，使用Cairo的Python绑定），但据我所知，Cairo只支持Bézier曲线。我也知道两个控制点之间的B样条曲线的线段可以用Bézier曲线来绘制，但是我在任何地方都找不到精确的公式。给定了控制点的坐标，如何导出相应的Bézier曲线的控制点？有没有什么有效的算法？在

Answer 1

好吧，所以我用谷歌搜索了很多东西，我想我找到了一个合理的解决方案，适合我的目的。我把它贴在这里-也许对其他人也有用。在

首先，让我们从一个简单的Point类开始：

from collections import namedtuple

class Point(namedtuple("Point", "x y")):
    __slots__ = ()

    def interpolate(self, other, ratio = 0.5):
        return Point(x = self.x * (1.0-ratio) + other.x * float(ratio), \
                     y = self.y * (1.0-ratio) + other.y * float(ratio))

三次B样条曲线只不过是Point对象的集合：

^{pr2}$

现在，假设我们有一个开放的均匀三次B样条，而不是一个钳制的。三次B样条曲线的四个连续控制点定义一个Bézier段，因此控制点0到3定义第一个Bézier段，控制点1到4定义第二个Bézier段，依此类推。Bézier样条的控制点可以通过在B样条控制点之间进行适当的线性插值来确定。设A、B、C、D为B样条曲线的四个控制点。计算以下辅助点：

1. 找出把A-B线除以2:1的点，设为A’。在
2. 找出把C-D线除以1:2的点，取D’。在
3. 把B-C线分成三等分，让这两点是F和G
4. 找到A'和F之间的点，这就是E
5. 找到G和D’之间的点，这就是H

控制点F和G从E到H的Bézier曲线等价于点A、B、C和D之间的开B样条曲线。顺便说一句，上述方法被称为Böhm算法，如果用适当的数学方法来描述非均匀或非三次B样条函数，则要复杂得多。在

我们必须对B样条曲线的每一组4个连续点重复上述步骤，因此最后我们将需要几乎所有连续控制点对之间的1:2和2:1分割点。以下BSplineDrawer类在绘制曲线之前所做的工作：

class BSplineDrawer(object):
    def __init__(self, context):
        self.ctx = context

    def draw(self, bspline):
        pairs = zip(bspline.points[:-1], bspline.points[1:])
        one_thirds = [p1.interpolate(p2, 1/3.) for p1, p2 in pairs]
        two_thirds = [p2.interpolate(p1, 1/3.) for p1, p2 in pairs]

        coords = [None] * 6
        for i in xrange(len(bspline.points) - 3):
            start = two_thirds[i].interpolate(one_thirds[i+1])
            coords[0:2] = one_thirds[i+1]
            coords[2:4] = two_thirds[i+1]
            coords[4:6] = two_thirds[i+1].interpolate(one_thirds[i+2])

            self.context.move_to(*start)
            self.context.curve_to(*coords)
            self.context.stroke()

最后，如果我们想绘制固定的B样条曲线而不是开放的B样条曲线，我们只需将夹紧的B样条曲线的两个端点重复三次：

class CubicBSpline(object):
    [...]
    def clamped(self):
        new_points = [self.points[0]] * 3 + self.points + [self.points[-1]] * 3
        return CubicBSpline(new_points)

最后，代码应该如何使用：

import cairo

surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, 600, 400)
ctx = cairo.Context(surface)

points = [(100,100), (200,100), (200,200), (100,200), (100,400), (300,400)]
spline = CubicBSpline(points).clamped()

ctx.set_source_rgb(0., 0., 1.)
ctx.set_line_width(5)
BSplineDrawer(ctx).draw(spline)

Answer 2

Converting B-spline curve to Bezier spline curve有帮助吗？在