如何绘制极性微分方程的相平面

Question

我试图用极限圆画出一些相平面。我有极坐标形式的微分方程：

drdt=r（r^2-1）dθdt=1

有没有一种方法可以使用matplotlib从中绘制它们？通过使用原始系统，我能够绘制出一个我拥有原始系统形式的图，如下所示：

xvalues, yvalues = np.meshgrid(np.arange(-2, 2, 0.1), np.arange(-2, 2, 0.1))
xdot = xvalues + yvalues - xvalues * (xvalues ** 2 + yvalues ** 2)
ydot = -xvalues + yvalues - yvalues * (xvalues ** 2 + yvalues ** 2)


plt.streamplot(xvalues, yvalues, xdot, ydot)
plt.grid(); 
plt.show()

这个系统是 dxdt=x+y-x（x^2+y2） dydt=-x+y-y（x^2+y2） 其极性形式为： drdt=r（1-r^2）dθdt=1

但是，如果可能的话，将它们全部隐藏到原来的系统中是很乏味的。谢谢你给我的任何帮助

更新

所以我想出了一个方法，它非常接近于，用scipy解一个初始半径范围内的微分，然后用转换公式在X，Y上作图

    times = np.linspace(0, 10)
    r0s = np.arange(0, 3, 0.2)
    for r0 in r0s:
        z0 = [r0, r0] 
        solution = odeint(rmodel, z0, times)
        x = solution[:,0] * np.cos(solution[:,1])
        y = solution[:,0] * np.sin(solution[:,1])
        plt.plot(x, y)

现在这已经足够好了，但我真的想要一个更好的解决方案

Answer 1

所以我想出了一个方法，它非常接近于，用scipy解一个初始半径范围内的微分，然后用转换公式在X，Y上作图

    times = np.linspace(0, 10)
    r0s = np.arange(0, 3, 0.2)
    for r0 in r0s:
        z0 = [r0, r0] 
        solution = odeint(rmodel, z0, times)
        x = solution[:,0] * np.cos(solution[:,1])
        y = solution[:,0] * np.sin(solution[:,1])
        plt.plot(x, y)

这对我来说已经足够好了