如何避免math.sin（math.pi*2*非常大的数字）比math.sin（math.pi*2）有更大的误差？

Question

我在其他问题中读到过，例如sin（2π）由于浮点表示而不是零，但是非常接近。这个非常小的错误在我的代码中没有问题，例如，我可以将5位小数取整

然而，当2π乘以一个非常大的数字时，误差被放大了很多。答案应该是零（或接近），但远非零

我是不是在做一些根本错误的事情？如果不是，我如何避免π的浮点数的误差幅度被“放大”为周期数（2*PI*X）→ ∞ ?

请注意，最后三个结果都是相同的。有人能解释为什么5）的π/2比4大吗？即使窦性曲线有很大的偏移，PI/2的增加仍然会产生一个不同的数值，对吗

1. 检查小数值SIN（2*PI）

   print math.sin(math.pi*2)
   

   结果=-2.44929359829e-16与预期一致→ 就我的目的而言，这个误差范围是可以的

2. 向上面的代码添加PI/2:SIN（2*PI+PI/2）

   print math.sin((math.pi*2)+(math.pi/2))
   

   结果：预期为1.0

3. 检查非常大的数字SIN（2*PI*非常大的数字）（仍然期望接近零）

   print math.sin(math.pi*2*(415926535897932384626433832795028841971693993751))
   

   结果：-0.759488037749不符合预期-->；就我而言，此误差幅度不合适

4. 将PI/2添加到上面的代码中：SIN（2*PI*非常大的数字+PI/2）（期望接近1）

   print math.sin((math.pi*2*(415926535897932384626433832795028841971693993751))+(math.pi/2))
   

   如上所述，但我添加了PI/2-预期结果为1.0
   结果：-0.759488037749不符合预期-为什么在我添加PI/2时会出现与上述相同的结果（应在窦性曲线上持续四分之一个周期）

5. 将随机数（8）添加到非常大的数字，不应为1或0

   print math.sin(math.pi*2*(415926535897932384626433832795028841971693993759))
   

   如上所述，但我添加了8-期望既不得到0也不得到1
   结果：-0.759488037749与预期不符-为什么我添加8时的结果与上述结果相同

Answer 1

How to avoid math.sin(math.pi*2*VERY LARGE NUMBER) having a much larger error margin than math.sin(math.pi*2)?

您可以% 1这个非常大的数字：

>>> math.sin(math.pi*2*(415926535897932384626433832795028841971693993751))
-0.8975818793257183
>>> math.sin(math.pi*2*(415926535897932384626433832795028841971693993751 % 1))
0.0

>>> math.sin((math.pi*2*(415926535897932384626433832795028841971693993751))+(math.pi/2))
-0.8975818793257183
>>> math.sin((math.pi*2*(415926535897932384626433832795028841971693993751 % 1))+(math.pi/2))
1.0

Answer 2

这对于双精度变量根本不起作用

math.pi的值仅对大约16位小数（二进制中的53位）是正确的，因此当您将其乘以415926535897932384626433832795028841971693993751（159位）这样的数字时，将不可能得到有意义的结果

您需要使用任意精度的数学库。例如，尝试使用^{}。告诉它您需要1000位精度，然后再次尝试求和：

>>> import mpmath
>>> mpmath.mp.prec=1000
>>> print(mpmath.sin((mpmath.pi*2*(415926535897932384626433832795028841971693993751))+(mpmath.pi/2)))
1.0

Answer 3

使用的算法是近似的，数值（如pi）是近似的。因此$\pi\cdot{SomeLargeNumber}$将有一个较大的错误（因为$\pi$的值是近似值）。（硬件？）使用的函数将减少参数，可能使用稍有不同的值$\pi$

请注意，浮点运算不满足实数运算的公理