欧米茄在连续超松弛速率法中的意义是什么？

Question

我有下面的矩阵

我已将其转化为严格占优矩阵，并应用Guass-Siedel和连续超松弛速率法，ω=1.1，ε公差=1e-4，收敛公式如下

通过手动使用python解决这个问题（不使用线性代数库），我发现这两种方法的迭代次数相同（6），但根据我的理解，如果矩阵在Gauss-Siedel和1<；欧米茄<；2对于连续超松弛速率法，SOR法应采取较少的迭代次数，而这并没有发生

那么，我的理解正确吗？SOR方法是否必须减少迭代次数

Answer 1

这实际上是我在试图解决同样的问题时遇到的一个问题。在这里，我将包括来自GS和SOR方法的第六次迭代的结果，并将分析我对为什么会出现这种情况的看法。对于两个初始向量x=（0,0,0,0）。实际上，我们看到每种方法的L无穷范数是不同的（见下文）

对于Gauss Seidel：

The solution vector in iteration 6 is: 
[[ 1.0001]
[ 2.    ]
[-1.    ]
[ 1.    ]]
The L infinity norm in iteration 6 is: [4.1458e-05]

对于SOR：

The solution vector in iteration 6 is: 
[[ 1.0002]
[ 2.0001]
[-1.0001]
[ 1.    ]]
The L infinity norm in iteration 6 is: [7.8879e-05]

学术上讲SOR可以提供一种方便的方法来加速求解线性系统的雅可比法和高斯-赛德尔法。参数ω称为松弛参数。显然，对于ω=1，我们恢复了原始方程。如果ω<；1我们讨论欠松弛，这对于一些在正常雅可比松弛下不会收敛的系统很重要。如果ω>；1、我们过度放松，对此我们会更加关注。在多年的手工计算中发现，如果我们超过高斯-赛德尔校正，收敛速度会更快。粗略地说，这些近似值保持在解x的同一侧。超松弛因子ω使我们更接近解。当ω=1时，我们恢复高斯-赛德尔；ω>；该方法称为SOR。ω的最佳选择从不超过2。它通常在1.9左右。”

有关ω的更多信息，还可以参考Strang，G.，2006年《线性代数及其应用》一书第410页以及论文A rapid finite difference algorithm, utilizing successive over‐relaxation to solve the Poisson–Boltzmann equation

基于上述学术描述，我认为这两种方法都有6次迭代，因为1.1不是最优ω值。将ω更改为更接近的值可能会产生更好的结果，因为超松弛的关键是发现这个最优ω。（我再次相信，这1.1不是最佳的欧米茄，一旦我进行计算，它将更新您）。图片来自Strang，G.，2006年《线性代数及其应用》第4版第411页

编辑：实际上，通过在SOR中运行omega迭代的图形表示，我的最佳omega似乎在1.0300到1.0440的范围内，这些omega的整个范围给了我五次迭代，这比omega=1的纯Gauss Seidel给出6次迭代更有效