如何用pythoncontrol（IVP问题）模拟系统传递函数的时间响应？

Question

我试图演示如何使用系统传递函数和python-control模块的定义来“求解”（模拟解）微分方程初值问题（IVP）。事实上，我在控制方面是个新手

我有一个简单的微分作为例子：y'' - 4y' + 13y = 0，初始条件是：y(0) = 1和y'(0) = 0

我手动实现此传递函数： Y(s) = (s - 4)/(s^2 - 4*s + 13)

因此，在Python中，我正在编写这段代码（注意y_ans是这个差异IVP的答案，即seen here）：

import numpy as np
import control as ctl
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0., 1.5, 100)
sys = ctl.tf([1.,-4.],[1.,-4.,13.])
T, yout, _ = ctl.forced_response(sys, T=t, X0=[1, 0])

y_ans = lambda x: 1/3*np.exp(2*x)*(3*np.cos(3*x) - 2*np.sin(3*x))

plt.plot(t, y_ans(t), '-.', color='gray', alpha=0.5, linewidth=3, label='correct answer')
plt.plot(T, yout, 'r', label='simulated')
plt.legend()

这段代码让我看到了这张图：

但是当我在yout前面插入一个负号时，我得到了一个匹配项，正如我所希望的：

plt.plot(T, -yout, 'r', label='simulated') ### yout with negative sign

我做错了什么？Python控件文档对我来说不是很清楚。另外，我不知道我对control.forced_response的X0参数的解释是否正确。有没有可能按照我的意图去做呢

欢迎任何能够阐明这一主题的人发表意见

编辑

设置X0 = [0,0]可以得到以下图形：

Answer 1

我认为在这里最好的做法是将系统转换为状态空间，并查看发生了什么（有许多可能的状态空间表示）：

sys_tf = ctl.tf([1.,-4.],[1.,-4.,13.])
sys_ss = ctl.tf2ss(sys_tf)
print(sys_ss)

输出：

A = [[ 4.00000000e+00  1.30000000e+00]
     [-1.00000000e+01  1.33226763e-15]]

B = [[-1.]
     [ 0.]]

C = [[-1.  -0.4]]

D = [[0.]]

我们想找到x(0)，这样y(0) = Cx(0) = 1和y'(0) = CAx(0) = 0

我们可以写出这些方程并手工求解，也可以使用线性代数：

A = np.vstack([sys_ss.C, sys_ss.C @ sys_ss.A])
b = np.array([[1], [0]])
x0 = np.linalg.solve(A, b)
print(x0)

给出：

[[-1.00000000e+00]
 [-1.36642834e-15]]

因此，这应该是可行的：

T, yout = ctl.forced_response(sys_ss, T=t, X0=[-1, 0])

此外，由于您只对初始条件（即u(t)=0）的瞬态响应感兴趣，因此可以使用^{}函数：

T, yout = ctl.initial_response(sys_ss, T=t, X0=[-1, 0])

Answer 2

感谢@LutzLehmann的评论，我一直在思考“两次编码”的含义。回到原点，我意识到这个传递函数包含了输入（时间或斜率）和初始条件。它实际上是一种输出。我需要某种拉普拉斯逆变换，或者，正如我开始思考的那样，我只需要按原样模拟它，而不需要进一步的信息

因此，我设法使用了一个脉冲输入（拉普拉斯变换等于1），并且我能够得到一个与我的tf在时间上模拟的完全一致的输出

import numpy as np
import control as ctl
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0., 1.5, 100)
sys = ctl.tf([1.,-4.],[1.,-4.,13.])
T, yout = ctl.impulse_response(sys, T=t) # HERE is what I wanted

y_ans = lambda x: 1/3*np.exp(2*x)*(3*np.cos(3*x) - 2*np.sin(3*x))

plt.plot(t, y_ans(t), '-.', color='gray', alpha=0.5, linewidth=3, label='correct answer')
plt.plot(T, yout, 'r', label='simulated')
plt.legend()

现在我想我可以演示如何使用python控件间接模拟微分方程的答案：-D