如何在statsmodels中使用gamma GLM的比例和形状参数

Question

任务

我有如下数据：

我想使用statsmodels将一个广义线性模型（glm）从gamma族中拟合出来。使用这个模型，对于我的每一次观察，我想计算观察到小于（或等于）该值的概率。换句话说，我想计算：

P(y <= y_i | x_i)

我的问题

• 如何从statsmodels中拟合的glm中获取形状和比例参数？根据this question，statsmodels中的比例参数不是以正常方式参数化的。我可以直接使用它作为scipy中伽马分布的输入吗？还是我需要先进行转换

• 如何使用这些参数（形状和比例）获得概率？目前我正在使用scipy为每个x_i生成一个分布，并从中得到概率。见下面的实现

我当前的实施

import scipy.stats as stat
import patsy
import statsmodels.api as sm

# Generate data in correct form
y, X = patsy.dmatrices('y ~ x', data=myData, return_type='dataframe')

# Fit model with gamma family and log link
mod = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Gamma(sm.families.links.log())).fit()

# Predict mean
myData['mu'] = mod.predict(exog=X) 

# Predict probabilities (note that for a gamma distribution mean = shape * scale)
probabilities = np.array(
    [stat.gamma(m_i/mod.scale, scale=mod.scale).cdf(y_i) for m_i, y_i in zip(myData['mu'], myData['y'])]
)

但是，当我执行此过程时，我得到以下结果：

目前预测的概率似乎都很高。图中的红线是预测的平均值。但即使在这条线以下的点，预测的累积概率也在80%左右。这让我怀疑我使用的比例参数是否正确

Answer 1

在R中，您可以使用1/分散（检查此post）作为形状的估计来获得。不幸的是，statsmodels中分散估计的命名是scale。所以你需要取这个的倒数来得到形状估计。我用下面的一个例子来说明：

values = gamma.rvs(2,scale=5,size=500)
fit = sm.GLM(values, np.repeat(1,500), family=sm.families.Gamma(sm.families.links.log())).fit()

这是一个仅限截距的模型，我们检查截距和色散（命名比例）：

[fit.params,fit.scale]
[array([2.27875973]), 0.563667465203953]

所以平均值是exp(2.2599) = 9.582131，如果我们使用形状作为1/色散，shape = 1/0.563667465203953 = 1.774096，这就是我们模拟的

如果我使用模拟数据集，它工作得非常好。这是它的外观，形状为10：

from scipy.stats import gamma
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import patsy
import statsmodels.api as sm
import pandas as pd

_shape = 10
myData = pd.DataFrame({'x':np.random.uniform(0,10,size=500)})
myData['y'] = gamma.rvs(_shape,scale=np.exp(-myData['x']/3 + 0.5)/_shape,size=500)

myData.plot("x","y",kind="scatter")

然后，我们像您一样拟合模型：

y, X = patsy.dmatrices('y ~ x', data=myData, return_type='dataframe')
mod = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Gamma(sm.families.links.log())).fit()
mu = mod.predict(exog=X) 

shape_from_model = 1/mod.scale

probabilities = [gamma(shape_from_model, scale=m_i/shape_from_model).cdf(y_i) for m_i, y_i in zip(mu,myData['y'])]

并绘制：

fig, ax = plt.subplots()
im = ax.scatter(myData["x"],myData["y"],c=probabilities)
im = ax.scatter(myData['x'],mu,c="r",s=1)
fig.colorbar(im, ax=ax)