在Python中使用数值积分的拉普拉斯变换精度很低

Question

我编写了一个函数，用scipy.integrate.quad计算函数的拉普拉斯变换。它不是一个非常复杂的函数，目前在Erlang分布的概率密度函数上表现不佳

我已经把我所有的工作都包括在下面了。我首先计算拉普拉斯变换，然后求逆，以便将其与Erlang的原始p.d.f.进行比较。我使用mpmath来实现这一点。mpmath.invertlaplace不是问题所在，因为它能够非常完美地将闭合形式的拉普拉斯变换转换回原始的p.d.f

请帮助我理解数值拉普拉斯变换的问题所在。我收到以下错误，但无法解决它

IntegrationWarning: The occurrence of roundoff error is detected, which prevents the requested tolerance from being achieved. The error may be underestimated. a=0,b=np.inf,limit=limit)[0]

绘图

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math as m
import mpmath as mp
import scipy.stats as st
from scipy.integrate import quad


def get_laplace(func,limit=10000):
    
    '''
    Returns laplace transfrom function
    '''
    
    def laplace(s):
        '''Numerical laplace transform'''
        # Seperate into real and imaginary parts
        x = np.real(s)
        y = np.imag(s)
        
        def real_func(t):
            return m.exp(-x*t)*m.cos(y*t)*func(t)
        
        def imag_func(t):
            return m.exp(-x*t)*m.sin(y*t)*func(t)
        
        real_integral = quad(real_func,
                             a=0,b=np.inf,limit=limit)[0]
        
        imag_intergal = quad(real_func,
                             a=0,b=np.inf,limit=limit)[0]
        
        return complex(real_integral,-imag_intergal)
    
    return laplace
        

def L_erlang(s,lam,k):
    '''
    Closed form laplace transform of Erlang or Gamma distribution.
    '''
    return (lam/(lam+s))**k


if __name__ == '__main__':
    
    # Setup Erlang probability density function
    k = 5
    lam = 1
    pdf = st.erlang(a=k,scale=1/lam).pdf
    
    # Laplace transforms
    Lnum = get_laplace(pdf)          # numerical approximation
    L = lambda s: L_erlang(s,lam,k)  # closed form
    
    
    # Use mpmath library to perform inverse laplace
    
    # Invserse transfrom on numerical laplace function
    invLnum = lambda t: mp.invertlaplace(Lnum,t,
                                         method='dehoog',
                                         dps=5, 
                                         degree=3)
    
    # Invserse transfrom on closed-form laplace function
    invL = lambda t: mp.invertlaplace(L,t,
                                      method='dehoog',
                                      dps=5, 
                                      degree=3)
    
    # Grid to visualise
    T = np.linspace(0.1,10,10)
    # Get values of inverse transforms
    lnum = np.array([invLnum(t) for t in T])
    l = np.array([invL(t) for t in T])
    
    # Plot
    plt.plot(T,lnum,label='from numerical laplace')
    plt.plot(T,l,label='from closed-form laplace')
    plt.plot(T,pdf(T),label='original pdf',linestyle='--')
    plt.legend(loc='best')
    plt.show()

更新

喝了两杯浓咖啡后，我终于发现了明显的错误，并使代码正常工作。事实上这很尴尬。请看一下这行代码：

imag_intergal = quad(real_func,
                     a=0,b=np.inf,limit=limit)[0]

嗯，嘿？因此，它应该是：

imag_intergal = quad(imag_func_func,
                     a=0,b=np.inf,limit=limit)[0]

其中一个得到了这个可爱的情节：

结论 那么，为什么要费尽心机，对我们有封闭形式解的东西进行拉普拉斯变换呢。这是因为利益在其他地方。我们没有一个类似于危险函数的条件未来寿命分布的闭合表达式。我们把它叫做h。然后对于活动了tau个时间单位的Erlang分布erl = st.erlang(a=k,scale=1/lam)，我们有h = lambda t: erl.pdf(t+tau)/erl.sf(tau)。这种分布可以用作半马尔可夫模型（SMP）中的保持时间。要分析SMP的瞬态行为，请使用拉普拉斯变换。通常只使用PDF，但现在我可以使用危险函数。这很酷，因为这意味着人们可以在不假设一切都是新的情况下模拟瞬时行为