变换后恢复角度

Question

这似乎是一个很容易的任务，但我没有找到一个解决办法，我已经用尽的想法。你知道吗

我用两个角度来定义一些变换系数。现在，我没有实际数据中这些角度的值，我有系数，我需要恢复这些角度。你知道吗

我原以为^{}函数会处理这个问题，但有时它无法恢复正确的a1角度，而是返回其180补码，这会影响a2角度的恢复。你知道吗

我做错了什么？如何正确恢复a1, a2角度？你知道吗

import numpy as np

# Repeat 100 times
for _ in range(100):
    # Define two random angles in the range [-pi, pi]. I do not have these
    # angles in my actual data, I have the A,B,C coefficients shown below.
    a1, a2 = np.random.uniform(-180., 180., (2,))

    # Transformation coefficients using the above angles.
    # This is the data I actually have.
    a1_rad, a2_rad = np.deg2rad(a1), np.deg2rad(a2)  # to radians
    A = - np.sin(a1_rad) * np.sin(a2_rad)
    B = np.cos(a1_rad) * np.sin(a2_rad)
    C = np.cos(a2_rad)

    # Recover a1 using 'arctan2' (returns angle in the range [-pi, pi])
    a1_recover = np.arctan2(-A / B, 1.)

    # Now obtain sin(a2), used below to obtain 'a2'
    sin_a2 = -A / np.sin(a1_recover)

    # Recover a2 using 'arctan2', where: C = cos(a2)
    a2_recover = np.arctan2(sin_a2, C)

    # Print differences.
    a1_recover = np.rad2deg(a1_recover)
    print("a1: {:.2f} = {} - {}".format(a1 - a1_recover, a1, a1_recover))
    a2_recover = np.rad2deg(a2_recover)
    print("a2: {:.2f} = {} - {}\n".format(a2 - a2_recover, a2, a2_recover))

Answer 1

你应该使用np.arctan2号（-A，B）代替np.arctan2号（-A/B，1.）。对于后者，您将丢失信息：A=-1和B=1将给出与A-1和B=-1相同的结果，因此有时180不匹配。 如果将a2限制在（0180）中，则可以恢复角度。注意，有了这个限制，a2可以恢复为acos（C）。（我试过这个，但由于我的程序是C语言的，所以可能没有帮助）

Answer 2

您无法还原角度符号信息，因为它在A,B计算（形成）中丢失。你知道吗

8种可能的sin/cos符号组合只给出了4种A/B符号的结果（而cos(a2)符号在这里没有帮助）。你知道吗

注意，对于球坐标，倾角范围仅为0..Pi

Answer 3

当a2_rad等于0时，(A, B, C)等于(0, 0, 1)，无论a1_rad等于什么。所以这个变换不是1比1。因此没有明确定义的逆。你知道吗

def ABC(a1, a2):
    a1_rad, a2_rad = np.deg2rad(a1), np.deg2rad(a2)  # to radians
    A = - np.sin(a1_rad) * np.sin(a2_rad)
    B = np.cos(a1_rad) * np.sin(a2_rad)
    C = np.cos(a2_rad)
    return A, B, C

print(ABC(0, 0))
# (-0.0, 0.0, 1.0)
print(90, 0)
# (-0.0, 0.0, 1.0)
print(-90, 0)
# (-0.0, 0.0, 1.0)

类似的问题也发生在相对的南极。在浮点精度的限制范围内，所有这些值（形式为ABC(a1, 180)）也基本相等：

ABC(1, 180)
# (-2.1373033680837913e-18, 1.2244602795081332e-16, -1.0)

ABC(0, 180)
# (-0.0, 1.2246467991473532e-16, -1.0)

ABC(90, 180)
# (-1.2246467991473532e-16, 7.498798913309288e-33, -1.0)

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你可以把a1，a2看作单位球上的坐标，其中a1 表示远离x轴的角度（通常称为theta）和a2 表示远离z轴的角度（通常称为phi）。你知道吗

A，B，C表示笛卡尔坐标系中单位球面上的同一点。你知道吗

通常spherical coordinates将a1限制在[0, 2*pi)范围内，将a2限制在[0, pi]范围内。 即使有这个限制，北极和南极也有不止一个（实际上是无限多个）有效的表示。你知道吗