如何使用cvxopt进行带约束的均值方差优化？

Question

我可以使用cvxopt来计算有效前沿，具体可以参考文档：

http://cvxopt.org/examples/book/portfolio.html

不过，我不太明白怎么添加一个限制条件，让某个资产的最大权重有个上限。用cvxopt可以做到这一点吗？

这是我目前的代码，它生成了一个没有限制条件的有效前沿，除了我认为的b，它设置了权重总和的最大值为1。我不太明白G、h、A和mus的作用，文档里也没有详细解释。公式中mus的10**(5.0*t/N-1.0)是从哪里来的呢？

from math import sqrt
from cvxopt import matrix
from cvxopt.blas import dot 
from cvxopt.solvers import qp, options 

# Number of assets
n = 4
# Convariance matrix
S = matrix( [[ 4e-2,  6e-3, -4e-3,   0.0 ], 
             [ 6e-3,  1e-2,  0.0,    0.0 ],
             [-4e-3,  0.0,   2.5e-3, 0.0 ],
             [ 0.0,   0.0,   0.0,    0.0 ]] )
# Expected return
pbar = matrix([.12, .10, .07, .03])

# nxn matrix of 0s
G = matrix(0.0, (n,n))
# Convert G to negative identity matrix
G[::n+1] = -1.0
# nx1 matrix of 0s
h = matrix(0.0, (n,1))
# 1xn matrix of 1s
A = matrix(1.0, (1,n))
# scalar of 1.0
b = matrix(1.0)

N = 100
mus = [ 10**(5.0*t/N-1.0) for t in range(N) ]
options['show_progress'] = False
xs = [ qp(mu*S, -pbar, G, h, A, b)['x'] for mu in mus ]
returns = [ dot(pbar,x) for x in xs ]
risks = [ sqrt(dot(x, S*x)) for x in xs ]

#Efficient frontier
plt.plot(risks, returns)

Answer 1

我觉得被标记为正确的回复其实给了一个错误的例子。covxopt 矩阵是按列优先排列的，所以示例中的 G 和 h 需要进行转置。

Answer 2

主要的目的是整理你的不等式和等式约束。比如，如果你想允许对两个资产进行卖空，那么就需要满足 -1<=x(i)<=1 以及 sum(x(i))=1 的条件。为了处理不等式，你有4个不等式，所以 G 矩阵的大小应该是 4x2，而 h 则是 4x1。你可以检查一下……G=[I/-I]，这里的 I 是一个全是1的矩阵，也就是说 G=[[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1]] 乘以 [x1,x2]，而 h=[1,1,1,1]。如果你使用 Gx<=h，你会得到 x1<=1，x2<=1，x1>=-1 和 x2>=-1 的结果。接下来是等式部分，Ax=b，b=1，A=[1,1]。再检查一下，x1 + x2 = 1，这符合约束条件。P 和 Q 你已经有了。现在你准备好去解决这个问题了。

Answer 3

我知道这个问题有点老了，但很难找到一个好的约束均值方差的例子。

其实约束的部分并不是这样工作的。

在这个例子中，G矩阵应该是4行4列，而h矩阵应该是1行4列，像下面这样。如果需要设置一个最小阈值，可以在"h"矩阵中输入，比如我下面的例子中是20%。不过，我还是没能成功添加最大约束。

G = matrix([[-1.0, 0.0, 0.0, 0.0],
       [0.0, -1.0, 0.0, 0.0],
       [0.0, 0.0, -1.0, 0.0],
       [0.0, 0.0, 0.0, -1.0]])


 h = matrix([-0.2, 0.0, 0.0, 0.0])

Answer 4

你正在使用cvxopt包中的二次规划求解器，可以查看一下文档。

从公式中可以看到，Gx <= h是表示不等式约束的，而Ax = b是表示等式约束的。这里的G和A是矩阵，而h和b是向量。

假设你想把第一个资产的权重限制在2%到5%之间，你可以这样来表示：

G = matrix([[-1, 0, 0, 0],
            [ 1, 0, 0, 0]])

h = matrix([[-0.02],
            [0.05]])

注意，第一行通过乘以-1把不等式条件变成了Gx >= h。

你上面设定的条件将所有资产的权重限制在0%到100%之间，这是一种常见的禁止卖空的条件。

你使用的公式在这里有解释：你的mu在维基百科文章中对应q，它是一个风险承受能力的参数。把它放在协方差或收益部分其实都没关系。这只是意味着你在每个mu值下，可能是从右上角走到左下角，或者反过来。所以它只是一个函数，给你一个从非常小到非常大的风险承受能力。我觉得这里有个错误，序列是从0.1开始的，但其实应该从0开始。