如何在Python中检测非方阵的所有行是否正交
我可以用 np.linalg.matrix_rank(A) 来测试一个矩阵的秩。但是，怎么高效地检查矩阵 A 的所有行是否是正交的呢？
我可以把所有行两两配对，计算它们之间的内积，但有没有更好的方法呢？
我的矩阵行数比列数少，而且这些行不是单位向量。
4 个回答
(U.T @ U == np.eye(U.shape[0])).all()
这段代码会检查矩阵'U'是否是正交的，如果是的话就返回'True'，否则返回'False'。这里用到了'all()'这个函数，它的作用是把我们在'U.T @ U == np.eye(U.shape[0])'这个操作后得到的布尔值矩阵（也就是True和False的组合）转换成一个单一的布尔值。
如果你想检查矩阵是否近似正交（也就是说，经过'U.T @ U'这个操作后得到的矩阵几乎等于一个单位矩阵），那么可以使用'np.allclose()'，用法如下：
np.allclose(U.T @ U, np.eye(U.shape[0]))
注意：'@'符号是用来进行矩阵乘法的。
方法 #3：计算 AT 的 QR 分解
一般来说，要找到某个矩阵 X 的范围空间的正交基，可以计算这个矩阵的 QR 分解（可以使用 Givens 旋转或 Householder 反射）。Q 是一个正交矩阵，而 R 是上三角矩阵。Q 中与 R 的非零对角线元素对应的列，形成了范围空间的一个正交归一基。
如果 X 的列是 AT，也就是说 A 的行已经是正交的，那么 QR 分解中的 R 矩阵的对角线元素会是对角线上的数值，正好是 X 的列（也就是 A 的行）的长度的正负值。
大家普遍认为，这种方法在数值计算上比计算 A*AT=RT*R 更好。这种差别在处理较大的矩阵时可能更明显。不过，这个计算并不像矩阵乘法那样直接，但操作的数量是差不多的。
这个回答基本上总结了问题和评论中提到的方法，并对它们进行了比较和分析。
方法一 - 检查所有行对
正如你所建议的，你可以遍历所有的行对，并计算它们的内积。如果A.shape==(N,M)，也就是说你有N行，每行有M个元素，那么这个方法的复杂度是O(M*N^2)。
方法二 - 矩阵乘法
正如评论中@JoeKington提到的，你可以计算乘法A.dot(A.T)，然后检查所有非对角线的元素。根据用于矩阵乘法的算法，这个方法可能会比简单的O(M*N^2)算法要快一些，但只是在理论上更好。如果你的矩阵不大，这个方法反而会更慢。
方法一的优点：
- 你可以“短路” - 一旦找到第一个非正交的行对，就可以停止检查。
- 需要的内存更少。在方法二中，你会创建一个临时的NxN矩阵。
方法二的优点：
- 乘法运算很快，因为它是在高度优化的线性代数库（ATLAS的BLAS）中实现的。我相信这些库会根据输入的大小选择合适的算法（也就是说，它们不会在小矩阵上使用复杂的算法，因为对于小矩阵来说，这些算法反而会更慢。O-表示法背后隐藏着一个很大的常数）。
- 需要写的代码更少。
我认为对于小矩阵来说，方法二可能会更快，因为线性代数库经过了高度优化，尽管它们会计算整个乘法，即使在处理第一个非正交的行对之后也是如此。
看起来这样做就可以了
product = np.dot(A,A.T)
np.fill_diagonal(product,0)
if (product.any() == 0):