计算标准差

Question

我需要做一个算法，通过蒙特卡罗方法来计算积分。为了模拟，我需要计算我程序中生成的样本的标准差。我的问题是，当我增加样本中的元素数量时，标准差并没有像我预期的那样减小。

起初我以为我的函数有问题，但我使用了numpy这个库里预定义的标准差计算函数，发现计算出来的值是一样的，并没有像我想的那样减少。所以我开始怀疑是我的样本出了问题，于是我做了以下模拟来测试标准差是否应该减小：

list = [random.uniform(0,1) for i in range(100)]
print np.std(list)

得到的标准差是：0.289

list = [random.uniform(0,1) for i in range(1000)]
print np.std(list)

得到的标准差是：0.287

难道在我增加样本数量时，标准差不应该减小吗？因为我需要这个标准差作为我模拟的停止标准，而我本来期待样本越大，标准差就越小。我的数学概念哪里出错了呢？

谢谢大家！

Answer 1

不，你的数学概念没有问题，标准差在样本量变大时是保持不变的。AHuman 正确指出，你应该避免使用保留字作为变量名：比如 list 是 Python 的一个保留字。你可以用 my_list 或者其他的变量名来代替。

[编辑] 因为计算出来的平均值是随机的，所以误差范围是无法使用的；你需要计算置信区间，这在这种情况下是一个概率误差范围。你可以在这里找到更多信息：http://planetmath.org/montecarlosimulation

Answer 2

一个分布的标准差跟样本的大小没有关系。对于均匀分布来说，标准差的计算公式是 (b - a)/sqrt(12)，其中 a 和 b 是你分布的上下限。在你的例子中，a = 0 和 b = 1，所以无论样本大小是多少，你都可以预期标准差 std = 1/sqrt(12) = 0.288675。

也许你想要的是 标准误差，它的计算公式是 std/sqrt(N)，随着样本大小的增加，标准误差会变小：

In [9]: sample = np.random.uniform(0, 1, 100)

In [10]: sample.std()/np.sqrt(sample.size)
Out[10]: 0.029738347511343809

In [11]: sample = np.random.uniform(0, 1, 1000)

In [12]: sample.std()/np.sqrt(sample.size)
Out[12]: 0.0091589707054713591