按给定比例随机生成数字

Question

我需要在一个给定的正区间(a,b)上生成数字，并且这些数字要符合指数分布。通过反累积分布函数方法，我做了一个生成指数分布数字的程序。但是，这个生成的数字是一个正数，而我希望它能落在我指定的区间内。我该怎么做才能只在这个区间内生成数字呢？

下面是使用反累积分布函数方法生成指数分布数字的代码，使用的是Python：

u = random.uniform(0,1)
return (-1/L)*math.log(u)

其中L是一个给定的正参数。

提前谢谢你！

Answer 1

一个结果 x 的概率通常是 L 乘以 exp(-Lx)。不过，当我们只关注区间 [a,b] 时，x 在这个区间内的概率会被放大，放大的程度是根据在 a 和 b 之间的累积分布函数（CDF）所占的比例来计算的：从 a 到 b 的积分是 L 乘以 exp(-Lt) 的积分，结果是 -(exp(-Lb) - exp(-La))。

因此，x 的概率密度函数（pdf）可以表示为：

L 乘以 exp(-Lx) 除以 (exp(-La) - exp(-Lb))，

这意味着在 x 的累积分布函数（cdf）为：

从 a 到 x 的积分 [ L 乘以 exp(-Lt) 除以 (exp(-La) - exp(-Lb)) ] dt

= [-exp(-Lx) + exp(-La)] / [exp(-La) - exp(-Lb)] = u

现在我们进行反转：

exp(-Lx) = exp(-La) - u [exp(-La) - exp(-Lb)]

-Lx = -La + log( 1 - u [1 - exp(-Lb)/exp(-La)])

x = a + (-1/L) log( 1 - u [1 - exp(-Lb)/exp(-La)])

这段代码如下：

u = random.uniform(0,1)
return a + (-1/L)*math.log( 1 - u*(1 - math.exp(-L*b)/math.exp(-L*a)) ) 

需要注意的是：如果 L 或 a 很大，math.exp(-L*a) 会变成 0，这样会导致 ZeroDivisionError 错误。