组合数学计数难题：投掷20个8面骰子，至少有5个骰子相同的概率是多少
假设有一个游戏，你要掷20个8面的骰子，这样总共有8^20种可能的结果。要计算某个特定事件发生的概率，我们需要把这个事件发生的方式数除以8^20。
我们可以计算得到恰好有5个骰子显示3的方式数。用(20选5)可以得到3的排列方式数。而7^15则表示在剩下的15次掷骰子中，得到非3的结果的方式数。
number of ways to get exactly 5, 3's = (20 choose 5)*7^15.
这个答案也可以看作是我可以如何重新排列字符串3,3,3,3,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0（用(20选5)表示3的数量），再乘以0的总数（假设有7个合法的值），也就是7^15（这样理解对吗）。
问题1：我该如何计算得到恰好5个相同值的骰子的方式数（也就是说，针对所有骰子的值）。注意：如果我只是简单地用上面的答案乘以8，我会得到一个巨大的重复计算结果？
我明白我可以分别计算每种情况（5个1），（5个2），（5个3），...（5个8），然后把它们加起来（更简单的说就是8*(5个1)）。然后再减去重叠的部分（5个1和5个2），（5个1和5个3）...（5个1和5个2）以及...（5个8），但这样看起来会非常麻烦。我希望能有一个更通用的方法，能够适应大量样本和类别的情况。
我该如何计算得到至少5个相同值的骰子的方式数？
比如111110000000000000000或者11110100000000000002，或者11111100000001110000，或者11011211222222223333，但不能是00001111222233334444或者000511512252363347744。
我在寻找能够解释这些数学原理的答案，或者指向支持这些计算的库（特别是Python模块）。如果能提供详细的例子就更好了。
7 个回答
要计算i个s面骰子总和的确切概率分布Fs,i，可以通过将单个骰子的概率分布与自身进行多次卷积来实现。
这里 
对于所有 
都成立，其他情况下为0。
我建议你花点时间写一个蒙特卡洛模拟程序，然后在你手动计算数学题的时候让它运行。希望这个蒙特卡洛模拟能在你完成数学计算之前得出结果，这样你就可以检查一下你的答案是否正确。
还有一个稍微快一点的办法，就是创建一个类似于Stack Overflow的网站，专门用来解决数学问题。
重复计数的问题可以通过使用包含-排除原理来解决。
我猜结果会是：
Choose(8,1)*P(one set of 5 Xs)
- Choose(8,2)*P(a set of 5 Xs and a set of 5 Ys)
+ Choose(8,3)*P(5 Xs, 5 Ys, 5 Zs)
- Choose(8,4)*P(5 Xs, 5 Ys, 5 Zs, 5 As)
P(set of 5 Xs) = 20 Choose 5 * 7^15 / 8^20
P(5 Xs, 5 Ys) = 20 Choose 5,5 * 6^10 / 8^20
不过，这样做并不能直接解决“同样的东西超过5个”的问题。因为如果你只是把这个方法应用到5、6、7到20的结果加起来，你会重复计算那些比如说有10个1和5个8的情况。
你可能还需要再次使用包含-排除原理来得出第二个答案；所以，至少有5个的概率=P（20个中的一组）+ ... + (P（15个中的一组） - 7*P（5个骰子中的5个）) + ((P（14个中的一组） - 7*P（6个中的5个） - 7*P（6个中的6个）)。不过，写出这个的源代码似乎更难了。