numpy中两个一维向量的点积

Question

我正在使用 numpy 在 python 中计算向量的乘法。我有一个维度为 n x 1 的向量 x，我想计算 x 和它的转置（x的转置就是把它变成一个横向的向量）。这个过程让我遇到了一些问题，因为 x.T 或者 x.transpose() 对于一维向量没有效果（numpy 对竖向和横向的向量处理是一样的）。

那么，我该如何在 numpy 中计算一个 (n x 1) 和 (1 x n) 的向量乘法呢？

使用 numpy.dot(x, x.T) 得到的是一个标量（就是一个数字），而不是我想要的二维矩阵。

Answer 1

另一个选择是使用 numpy.matrix

>>> a = np.matrix([1,2,3])
>>> a
matrix([[1, 2, 3]])
>>> a.T * a
matrix([[1, 2, 3],
        [2, 4, 6],
        [3, 6, 9]])

通常来说，大家更喜欢用 numpy.arrays。不过，使用 numpy.matrices 在处理长表达式时可能会更容易理解。

Answer 2

另一种选择是用二维来定义行向量或列向量，比如：

a = np.array([1, 2, 3], ndmin=2)
np.dot(a.T, a)

array([[1, 2, 3],
   [2, 4, 6],
   [3, 6, 9]])

Answer 3

如果你想计算内积，可以使用 numpy.dot(x,x)；如果想计算外积，可以用 numpy.outer(x,x)。

Answer 4

虽然 np.outer 是最简单的方法来实现这个功能，但我想提一下你可以如何处理形状为 (N,) 的数组来做到这一点：

In [17]: a = np.arange(4)
In [18]: np.dot(a[:,None], a[None,:])
Out[18]:
array([[0, 0, 0, 0],
       [0, 1, 2, 3],
       [0, 2, 4, 6],
       [0, 3, 6, 9]])

In [19]: np.outer(a,a)
Out[19]:
array([[0, 0, 0, 0],
       [0, 1, 2, 3],
       [0, 2, 4, 6],
       [0, 3, 6, 9]])

在这里，你可以把 None 替换成 np.newaxis。

还有一种更特别的方法是使用 np.einsum：

In [20]: np.einsum('i,j', a, a)
Out[20]:
array([[0, 0, 0, 0],
       [0, 1, 2, 3],
       [0, 2, 4, 6],
       [0, 3, 6, 9]])

为了好玩，这里有一些时间测试，结果可能会根据你的硬件和numpy的版本/编译情况有所不同：

小一点的向量

In [36]: a = np.arange(5, dtype=np.float64)

In [37]: %timeit np.outer(a,a)
100000 loops, best of 3: 17.7 µs per loop

In [38]: %timeit np.dot(a[:,None],a[None,:])
100000 loops, best of 3: 11 µs per loop

In [39]: %timeit np.einsum('i,j', a, a)
1 loops, best of 3: 11.9 µs per loop

In [40]: %timeit a[:, None] * a
100000 loops, best of 3: 9.68 µs per loop

还有一些稍微大一点的

In [42]: a = np.arange(500, dtype=np.float64)

In [43]: %timeit np.outer(a,a)
1000 loops, best of 3: 605 µs per loop

In [44]: %timeit np.dot(a[:,None],a[None,:])
1000 loops, best of 3: 1.29 ms per loop

In [45]: %timeit np.einsum('i,j', a, a)
1000 loops, best of 3: 359 µs per loop

In [46]: %timeit a[:, None] * a
1000 loops, best of 3: 597 µs per loop

Answer 5

你实际上是在计算一个叫做“外积”的东西。

你可以使用 np.outer 这个函数来实现。

In [15]: a=[1,2,3]

In [16]: np.outer(a,a)
Out[16]:
array([[1, 2, 3],
       [2, 4, 6],
       [3, 6, 9]])