FFT在某些频率周围的详细信息

Question

我有一个信号，想知道这个信号的频率成分，所以我用快速傅里叶变换（FFT）来处理。问题是，我只想在一个特定的频率附近得到很多细节。可是，如果我增加窗口的宽度，或者提高采样率，处理速度就会变得很慢，而且我会得到很多地方的细节，这样反而不太好。我只想在那个特定的频率点上有很多细节，其他地方的细节尽量少一点。

我尝试过在我需要的频率范围内使用Goertzel滤波器，然后在其他地方用FFT，但这样并没有让我在需要的地方得到更多的细节，这也是我预料之中的。

有没有什么好的主意？我现在唯一想到的办法是围绕我想要的值进行扫频和内积运算。

谢谢。

Answer 1

提高采样率并不会让你的频谱分辨率变高，它只会让你得到更多高频信息，而这些信息其实你并不需要。要提高频谱分辨率，唯一的方法就是增加窗口的长度。你可以通过在数据后面加零来人为增加窗口长度，但这只会给你“假分辨率”，结果只是让正常的数据点之间的曲线变得平滑。所以，真正的方法是要在更长的时间内测量数据，这没有免费的午餐。

针对你描述的问题，减少FFT计算时间的标准方法是使用解调（或者叫做异频处理，不确定官方名称是什么）。你可以用一个频率接近你感兴趣频率的正弦波去乘你的数据（可以是完全相同的频率，但这并不是必须的），然后对数据进行降采样（低通滤波，截止频率稍低于你降采样后采样率的奈奎斯特频率，接着再降采样）。这样，你的数据点就会少很多，所以FFT的计算会更快。得到的频谱会和你原来的频谱相似，只是会因为解调频率而移动。所以在绘图时，只需在x轴上加上f_demod。

需要注意的是，如果你用真实的正弦波去乘数据，你降采样后的频谱实际上会是两个镜像频谱的和，因为真实的正弦波包含正频率和负频率。对此有两个解决方案：

1. 用同一频率的正弦波和余弦波进行解调，这样你会得到两个频谱，然后取它们的和或差就能得到你的频谱。

2. 用形式为exp(2*pi*i*f_demod*t)的复数正弦波进行解调。这样你输入FFT的数据将是复数的，所以你需要计算双侧频谱。但这正是你想要的，你会得到f_demod上下的频率。

我更喜欢第二个解决方案。快速示例：

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.mlab import psd
from scipy.signal import decimate

f_line = 123.456
f_demod = 122

f_sample = 1000
t_total = 100
t_win = 10
ratio = 10

t = np.arange(0, t_total, 1 / f_sample) 
x = np.sin(2*np.pi*f_line * t) + np.random.randn(len(t)) # sine plus white noise
lo = 2**.5 * np.exp(-2j*np.pi*f_demod * t) # local oscillator
y = decimate(x * lo, ratio) # demodulate and decimate to 100 Hz
z = decimate(y, ratio) # decimate further to 10 Hz

nfft = int(round(f_sample * t_win))
X, fx = psd(x, NFFT = nfft, noverlap = nfft/2, Fs = f_sample)

nfft = int(round(f_sample * t_win / ratio))
Y, fy = psd(y, NFFT = nfft, noverlap = nfft/2, Fs = f_sample / ratio)

nfft = int(round(f_sample * t_win / ratio**2))
Z, fz = psd(z, NFFT = nfft, noverlap = nfft/2, Fs = f_sample / ratio**2)

plt.semilogy(fx, X, fy + f_demod, Y, fz + f_demod, Z)
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('PSD (V^2/Hz)')
plt.legend(('Full bandwidth FFT', '100 Hz FFT', '10 Hz FFT'))
plt.show()

结果：

如果你放大查看，会发现结果在降采样滤波器的通带内几乎是完全相同的。需要注意的是，如果你在decimate中使用的低通滤波器的降采样比率大于10，可能会变得不稳定。解决这个问题的方法是对大比率进行多次降采样，比如要降采样1000倍，可以分三次每次降采样10倍。