Numpy 广播切片数组和向量

Question

给定三个numpy数组：一个多维数组 x，一个带有单一维度的向量 y，还有一个没有单一维度的向量 z。

x = np.zeros((M,N))
y = np.zeros((M,1))
z = np.zeros((M,))

在进行广播操作时，向量的表示方式和上下文会影响结果：

x[:,0] = y      # error cannot broadcast from shape (M,1) into shape (M)
x[:,0] = z      # OK

x[:,0] += y     # error non-broadcastable output with shape (M) doesn't match 
                # broadcast shape(M,M)
x[:,0] += z     # OK

x - y           # OK
x - z           # error cannot broadcast from shape (M,N) into shape (M)

我意识到我可以这样做：

x - z[:,None]   # OK

但我不明白这种明确的表示法有什么好处。它显然没有提高可读性。我不明白为什么表达式 x - y 是可以的，而 x - z 却有歧义。

为什么Numpy对带有或不带有单一维度的向量的处理方式不同？

补充：文档中提到：当两个维度相等，或者其中一个是1时，它们是兼容的，但 y 和 z 在功能上都是 M x 1 的向量，因为一个 M x 0 的向量不包含任何元素。

Answer 1

将 (M,1) 和 (M,) 视为不同的一个好处是，你可以指定哪些维度要对齐，哪些维度要进行广播。

假设你有：

a = np.arange(4)
b = np.arange(16).reshape(4,4)
# i.e a = array([0, 1, 2, 3])
# i.e b = array([[ 0,  1,  2,  3],
#   [ 4,  5,  6,  7],
#   [ 8,  9, 10, 11],
#   [12, 13, 14, 15]])

当你执行 c = a + b 时，a 和 b 会在 axis=1 上对齐，而 a 会在 axis=0 上进行广播：

array([[0, 1, 2, 3],
   [0, 1, 2, 3],
   [0, 1, 2, 3],
   [0, 1, 2, 3]])

但是，如果你想在 axis=0 上对齐 a 和 b，并在 axis=1 上进行广播呢？

array([[0, 0, 0, 0],
   [1, 1, 1, 1],
   [2, 2, 2, 2],
   [3, 3, 3, 3]])

将 (M,1) 和 (M,) 区分开来，可以让你指定哪个维度要对齐，哪个维度要广播。

（也就是说，如果 (M,1) 和 (M,) 被视为相同，怎么告诉 numpy 你想在 axis=1 上进行广播呢？）

Answer 2

使用Numpy的矩阵接口，而不是数组接口，可以得到想要的广播行为：

x = np.asmatrix(np.zeros((M,N)))
y = np.asmatrix(np.zeros((M,1)))

x[:,0] = y              # OK
x[:,0] = y[:,0]         # OK
x[:,0] = y[:,0:1]       # OK
x[:,0] += y             # OK
x - y                   # OK
x - np.mean(x, axis=0)  # OK
x - np.mean(x, axis=1)  # OK

Answer 3

一般来说，广播的规则是会在数组的形状前面插入单一维度。这让我们在处理数组的最后几维时更加方便，所以 (x.T - z).T 这样的操作是可以正常工作的。

如果系统自动决定 x 的哪个轴与 z 匹配的话，那么像 x - z 这样的操作就会在 N == M 的情况下出错，这样会让代码的测试变得更加困难。因此，这个规则在提供便利的同时，也能减少一些错误的发生。

如果你不喜欢 z[:, None] 这种简写方式，或许你会觉得 z[:, np.newaxis] 更加清晰。

对于像 x[:,0] = y 这样的赋值操作，如果想让它正常工作，你可以用 x[:,0:1] = y 来替代。