数组分割 - 从 MATLAB 转到 Python

Question

我在MATLAB里有一行代码，是别人写的：

c=a.'/b

我需要把它翻译成Python。a、b和c都是数组。我现在用来测试代码的数组维度是：

a: 18x1,
b: 25x18,

这样得到的c的维度是1x25。

这些数组不是方阵，但我希望代码在它们是方阵时也能正常工作。有人能详细解释一下这一行代码在数学上是做什么的吗？还有，怎么在Python中实现呢？（也就是在Python中有没有类似MATLAB的mrdivide函数？）

Answer 1

在Matlab中，A.'表示对A矩阵进行转置。简单来说，转置就是把矩阵的行和列互换。所以在这个代码中，实际上是计算A^T/B。

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如何在Python（或其他语言）中实现矩阵除法 （注意：我们先来看看简单的除法形式A/B；在你的例子中，你需要先做A^T，然后再做A^T/B，这个转置操作在Python中很简单，可以自己练习一下 :)）

你有一个矩阵方程：C*B=A（你想找出C，也就是A/B）

右侧除法（/）的计算方式如下：

C*(B*B^T)=A*B^T

接着，你通过反转(B*B^T)来孤立出C。

也就是说，

C = A*B^T*(B*B^T)' ----- [1]

因此，要在Python（或其他语言）中实现矩阵除法，你需要掌握以下三种方法：

• 矩阵乘法
• 矩阵转置
• 矩阵求逆

然后将它们反复应用，以实现如[1]中的除法。

不过，你需要做的是A^T/B，所以在实现这三种基本方法后，你的最终操作应该是：

A^T*B^T*(B*B^T)'

注意：别忘了运算符优先级的基本规则哦 :)

Answer 2

在MATLAB中，符号 / 是用来进行矩阵右除法的运算符，它实际上调用了 mrdivide 这个函数。根据文档，矩阵右除法和 矩阵左除法 有以下关系：

B/A = (A'\B')'

如果 A 是一个方阵，那么 B/A 大致等于 B*inv(A)（虽然它的计算方式不同，更加稳健）。如果不是方阵，x = B/A 就是解方程组 x*A = B 的最小二乘解。关于用来解决方程组的算法的更多细节，可以在 这里 找到。通常像 LAPACK 或 BLAS 这样的库会在后台被使用。

Python的 NumPy库 中有一个例程 lstsq，用于计算方程组的最小二乘解。这个例程的结果可能和使用MATLAB中的 mrdivide 函数相似，但不一定是完全相同。由于每个函数使用的底层算法可能不同，结果可能会有些微差异（比如一个可能返回1.0，而另一个可能返回0.999）。这种误差的相对大小可能会更大，这取决于你所解的具体方程组。

使用 lstsq 时，你可能需要稍微调整一下你的问题。看起来你想解的方程是 cB = a，其中 B 是25行18列，a 是1行18列，c 是1行25列。对两边都进行 转置，你会得到方程 B^Tc^T = a^T，这是一种更标准的形式（即 Ax = b）。传给 lstsq 的参数应该是（按这个顺序） B^T（一个18行25列的数组）和 a^T（一个18个元素的数组）。lstsq 应该会返回一个25个元素的数组（c^T）。

注意：虽然NumPy对1行N列或N行1列的数组没有区别，但MATLAB是有区别的，如果你不使用正确的形式，它会给你报错。

Answer 3

这一行代码

c = a.' / b

是用来计算方程 c b = a^T 中的 c 的解。Numpy 这个库没有直接可以做到这一点的运算符。所以，你应该先求解 b^T c^T = a 中的 c^T，然后再把结果转置一下：

c = numpy.linalg.lstsq(b.T, a.T)[0].T