关于继续分数的Python代码

Question

我正在试着理解下面这段Python代码在做什么。我先计算2的平方根，然后把它的小数部分除以1。这样做了5次，结果一直是一样的，但第6次和第7次的时候结果却变了。

为什么在第6次的时候，输出会变化，而输入值和前5次计算的是一样的呢？

import math as M
frct = M.sqrt(2)

# 1
frct = 1 / (frct - int(frct))
print frct # 2.41421356237

# 2
frct = 1 / (frct - int(frct))
print frct # 2.41421356237

# 3
frct = 1 / (frct - int(frct))
print frct # 2.41421356237

# 4
frct = 1 / (frct - int(frct))
print frct # 2.41421356237

# 5
frct = 1 / (frct - int(frct))
print frct # 2.41421356237

# 6
frct = 1 / (frct - int(frct))
print frct # 2.41421356238

# 7
frct = 1 / (frct - int(frct))
print frct # 2.41421356235

Answer 1

当你使用 print frct 时，它显示的 str(frct) 结果中的有效数字比实际需要的少，导致无法准确复现这个数字。如果把 print frct 改成 print repr(frct)，你会发现前五次显示的数字并不相同，虽然它们变化得比较慢（开始的时候），所以它们的四舍五入结果保持一致：

2.4142135623730945
2.4142135623730985
2.414213562373075
2.414213562373212
2.4142135623724124
2.414213562377074
2.414213562349904

Answer 2

简单来说，Python在输出的时候会进行四舍五入 :)

import math as M
frct = M.sqrt(2)

for i in range(7):
    frct = 1 / (frct - int(frct))
    print 'Attempt %d: %.20f' % (i, frct)

详细一点说，浮点数并不是存储真实的值（没有双关的意思），而是存储一个指数和一个尾数。想了解更多，可以看看这个维基百科页面：http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point

基本上，浮点数是这样存储的：

Significant digits × base^exponent

如果你想在Python中得到更精确的结果，可以试试decimal模块：

import decimal
context = decimal.Context(prec=100)
frct = context.sqrt(decimal.Decimal(2))

print 'Original square root:', frct

for i in range(7):
    frct = context.divide(1, frct - int(frct))
    print 'Attempt %d: %s' % (i, frct)

输出结果：

Original square root: 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573
Attempt 0: 2.414213562373095048801688724266222622763067167798368627068136427003657772608039155697953022512189319
Attempt 1: 2.414213562373095048801688723683379910288448158038030882339615025168647691299718507620657724911891709
Attempt 2: 2.414213562373095048801688727180436185136162216600057354932063779738350752352175486771948426117071942
Attempt 3: 2.414213562373095048801688706780941248524496874988236407630784335182989956231878308913506955872772859
Attempt 4: 2.414213562373095048801688825680854593346774866097140494471009059332623720827093783193465943198777227
Attempt 5: 2.414213562373095048801688132680869461024772261055702548455940065126184103929661474210576202848416747
Attempt 6: 2.414213562373095048801692171780866910134509900201052604731129303452089934643341550673727041448985316