使用泰勒级数求平方根

Question

我想用泰勒级数来计算平方根。我刚开始学习这个系列，写了一些代码，但我不知道为什么它不工作，可能是我不应该把 i 传给它？请问有人能告诉我我哪里做错了吗？

我有来自 http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#List_of_Maclaurin_series_of_some_common_functions 的公式。

from math import sqrt

def factorial(n):
    result = 1
    for i in range(2, n+1):
        result *= i
    return result

def binomical(alpha, n):
    result = 1
    for i in range(0, n):
        result *= (alpha - i)
    return result / factorial(n)

for i in range(1, 10):
    x = sum(binomical(0.5, k) * i ** k for k in range(10))
    print x, sqrt(i)    

Answer 1

这里有两个问题，一个小问题和一个大问题。小问题是展开式是用 (1+x)^alpha 来写的，而不是 x^alpha，所以你的 i**k 实际上应该是 (i-1)**k。这样修改后，你的输出会变成

1.41920471191 1.0
5.234375 1.41421356237

你会发现 sqrt(1) 的结果和 sqrt(2) 的结果看起来很接近，变成了

1.0 1.0
1.41920471191 1.41421356237

这样就好多了。不过，剩下的项还是不太好：

5.234375 1.73205080757
155.677841187 2.0
2205.0 2.2360679775
17202.2201691 2.44948974278
91687.28125 2.64575131106
376029.066696 2.82842712475
1273853.0 3.0

而且把求和的项数从10增加到100，结果反而更糟：

1.0 1.0
1.4143562059 1.41421356237
1.2085299569e+26 1.73205080757
3.68973817323e+43 2.0
9.21065601505e+55 2.2360679775
3.76991761647e+65 2.44948974278
2.67712017747e+73 2.64575131106
1.16004174256e+80 2.82842712475
6.49543428975e+85 3.0

但这也是可以理解的，因为你链接的页面解释过，这个展开式只有在 x 的绝对值小于1时才能保证收敛。所以我们可以很好地计算小数字的根：

>>> i = 0.7
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(10))
0.8366601005565644
>>> i**0.5
0.8366600265340756

同时我们也可以尝试缩小数值来处理其他数字：

>>> i0 = 123.0
>>> i = i0/(20**2)
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(50))
0.5545268253462641
>>> _*20
11.090536506925282
>>> i0**0.5
11.090536506409418

或者在不同的点上进行泰勒展开等等。

总的来说，泰勒级数有一个收敛半径——可能是零！——在这个范围内它们能给出正确的结果。维基百科的泰勒级数页面有一部分讲了“近似和收敛”，可以了解更多。

(顺便说一下，“binomial”里没有“c”。 :^)