在Python中求解困难的（多项式？）方程

Question

我刚开始学习编程（Python是我的第一门语言），但我很喜欢设计算法。目前我正在研究一个整数方程组，但找不到解决我这个特定问题的参考资料。

让我来解释一下。

我有一个方程（可以把它当作一个测试）：

raw_input == [(90*x + a) * y] + z

其中a是一个常数。

我的问题是，变量z的变化方式很像斐波那契数列，而变量x是z的步长。简单来说，在z序列的第一个项时，x=0；在第二个项时，x=1。我需要求解y。

确定z的具体过程如下：

where c and d are constants:
#at x = 0
temp = (c+(90*x)) * (d+(90*x))
temp/90 = z(0) 

#at x = 1
new_temp = (c+(90*x)) * (d + (90*x))

new_temp/90 = z(1)  

#for all the rest of the values of z (and x), use:

j = z(@ x=1) - z(@ x=0)
k = j + 180
l = z(@ x=1) + k
print "z(@ x=1) - z(@ x=0) = j"
print "j + 180 = k"
print "k + z(1) = l"
repeat until z > raw_input

this creates the spread of z values by the relation:
j = z(@ x=n) - z(@ x=n-1)
k = j + 180
l = k + z(@ x = n)

我需要跳过（扫描）所有小于x的z值，以测试y是否能得到一个整数解。

这看起来可行吗？

Answer 1

我只是把你的伪代码翻译成了Python代码。希望这能对你有所帮助。如果你还没看过的话，建议你去看看这个Python教程。

# python 2.7

# raw_input returns string - convert to int
upper_bound = int(raw_input('Upper bound: '))

def z(x):
    'A function to calculate z from x.'
    # c and d are constants
    c = 5
    d = 2
    # integer division here
    return (c + 90*x)*(d + 90*x)/90

# the value of z_0
z0 = z_x = z(0)
# a list to hold the z values z_0, z_1, ...
# the list includes z_0 (when x = 0)
zs = [z0]

x = 1
while z_x < upper_bound:
    z_x = z(x)
    zs.append(z_x)

    j = zs[x] - zs[x - 1]
    k = j + 180
    l = zs[x] + k
    print j, k, l

    x += 1

Answer 2

看起来你最好的方法是把给定的方程重新表达成递归关系，然后可以定义一个递归函数来计算你想要的值，或者找到这个关系的封闭形式解。关于递归关系的更多信息可以参考：

• 任何一本不错的组合数学书籍
• 维基百科：递归关系。特别是以下几个部分：
  • 2.1：带有常数系数的线性齐次递归关系
  • 2.2：有理生成函数
  • 3.1：解决递归关系的一般方法
  • 虽然解决递归关系的一般方法相对有效，但最强大的技术是z变换：3.3：使用z变换解决
  • 3.5：解决非齐次递归关系。文章其余部分的技术和讨论主要适用于纯应用，但偶尔也可能有实际用途。
• WolframMathWorld：递归方程

最后，根据我的经验，这类问题最好使用数学数值分析软件来解决，比如MatLab、Octave或Mathematica。至少，使用这些软件你可以快速进行部署和测试。