图像的3D旋转

Question

我正在尝试写一些代码，用来对一张图片进行透视变换（在这个例子中是3D旋转）。

import os.path
import numpy as np
import cv

def rotation(angle, axis):
    return np.eye(3) + np.sin(angle) * skew(axis) \
               + (1 - np.cos(angle)) * skew(axis).dot(skew(axis))

def skew(vec):
    return np.array([[0, -vec[2], vec[1]],
                     [vec[2], 0, -vec[0]],
                     [-vec[1], vec[0], 0]])

def rotate_image(imgname_in, angle, axis, imgname_out=None):
    if imgname_out is None:
        base, ext = os.path.splitext(imgname_in)
        imgname_out = base + '-out' + ext
    img_in = cv.LoadImage(imgname_in)
    img_size = cv.GetSize(img_in)
    img_out = cv.CreateImage(img_size, img_in.depth, img_in.nChannels)
    transform = rotation(angle, axis)
    cv.WarpPerspective(img_in, img_out, cv.fromarray(transform))
    cv.SaveImage(imgname_out, img_out)

当我围绕z轴旋转时，一切都按预期工作，但围绕x轴或y轴旋转时，结果看起来完全不对。我需要旋转到像pi/200这么小的角度，才能开始得到看起来合理的结果。你知道可能出什么问题了吗？

Answer 1

我不太明白你是怎么构建你的旋转矩阵的。对我来说，这看起来有点复杂。通常，构建旋转矩阵的方法是先创建一个零矩阵，然后在不需要的轴上放上 1，在需要的两个维度中放入常见的 sin、cos、-cos 和 sin。最后把这些组合在一起。

你是从哪里得到这个 np.eye(3) + np.sin(angle) * skew(axis) + (1 - np.cos(angle)) * skew(axis).dot(skew(axis)) 的构造方式的？

试着从基本的构建块来构建投影矩阵。构建旋转矩阵其实很简单，"旋转矩阵 乘以 倾斜矩阵"应该是可行的。

不过你可能需要注意旋转的中心。你的图像可能在 z 轴上虚拟位置为 1，所以在 x 或 y 轴上旋转时，它会稍微移动一下。因此你需要先进行平移，让 z 变成 0，然后再旋转，最后再平移回来。（在仿射坐标系中，平移矩阵也很简单。可以看看维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix）

Answer 2

首先，构建一个旋转矩阵，它的形式是

    [cos(theta)  -sin(theta)  0]
R = [sin(theta)   cos(theta)  0]
    [0            0           1]

应用这个坐标变换可以让你围绕原点进行旋转。

如果你想围绕图像中心旋转，首先需要把图像中心移动到原点，然后进行旋转，最后再把一切移回去。你可以使用一个平移矩阵来做到这一点：

    [1  0  -image_width/2]
T = [0  1  -image_height/2]
    [0  0   1]

那么，平移、旋转和逆平移的变换矩阵就变成了：

H = inv(T) * R * T

我还需要想一想如何将斜切矩阵与3D变换联系起来。我认为最简单的方法是建立一个4D变换矩阵，然后再将其投影回2D齐次坐标。不过现在，斜切矩阵的一般形式是：

    [x_scale 0       0]
S = [0       y_scale 0]
    [x_skew  y_skew  1]

x_skew 和 y_skew 的值通常很小（1e-3或更小）。

这里是代码：

from skimage import data, transform
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img = data.camera()

theta = np.deg2rad(10)
tx = 0
ty = 0

S, C = np.sin(theta), np.cos(theta)

# Rotation matrix, angle theta, translation tx, ty
H = np.array([[C, -S, tx],
              [S,  C, ty],
              [0,  0, 1]])

# Translation matrix to shift the image center to the origin
r, c = img.shape
T = np.array([[1, 0, -c / 2.],
              [0, 1, -r / 2.],
              [0, 0, 1]])

# Skew, for perspective
S = np.array([[1, 0, 0],
              [0, 1.3, 0],
              [0, 1e-3, 1]])

img_rot = transform.homography(img, H)
img_rot_center_skew = transform.homography(img, S.dot(np.linalg.inv(T).dot(H).dot(T)))

f, (ax0, ax1, ax2) = plt.subplots(1, 3)
ax0.imshow(img, cmap=plt.cm.gray, interpolation='nearest')
ax1.imshow(img_rot, cmap=plt.cm.gray, interpolation='nearest')
ax2.imshow(img_rot_center_skew, cmap=plt.cm.gray, interpolation='nearest')
plt.show()

输出结果是：