在环形区域内生成随机数

Question

我想生成一个在环形区域内的随机数，也就是说，我们有一个最大半径和一个最小半径。我试着这样做：

while True:
    x=random.uniform(-maxR, maxR)
    y=random.uniform(-maxR, maxR)
    R=math.sqrt(x**2 + y**2)
    if R <= maxRadius and R >= minRadius:
        if x>= -maxRadius and x <= maxRadius and x<=-minRadius and x>= minRadius:
            print "passed x"
            if y>= -maxRadius and y <= maxRadius and y<=-minRadius and y>= minRadius: 
                break

但是这样做速度很慢。有没有办法给random.uniform添加更多的限制条件，或者有没有其他的方法？

Answer 1

一般来说，你可以直接绘制正确的分布，或者使用拒绝采样的方法。

直接绘制的方法

• 在区间 [0,2pi) 上均匀地生成一个角度 theta：theta = random.uniform(0,2*pi)

• 从幂律分布 r^1中生成 r。

  与在圆上进行这项操作相比，唯一的复杂之处在于你的概率密度函数（PDF）是从 [r_min,r_max] 而不是 [0,r_max]。这导致了：

  累积分布函数（CDF） = A \int_{r_min}^{r} r' dr' = A (r^2 - r_min^2)/2

  这里的 A 是归一化常数。

  A = 2/(r_max*r_max - r_min*r_min)
  

  这意味着：

  r = sqrt(2*random.uniform(0,1)/A + r_min*r_min)
  

  你可以稍微简化一下。

• 然后通过常规的极坐标转换计算 (x,y)：
  x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

这种积分 PDF、归一化 CDF 和反转的方法是通用的，有时被称为“采样的基本定理”。

拒绝采样

在一个足够大的框中绘制 (x,y)，这个框要能包含环形区域，然后拒绝所有那些 `r = sqrt(xx + yy)` 超过 r_max 或小于 r_min 的情况。

如果中间的空洞很小，这种方法效率还算合理；但如果空洞很大，那就非常低效了。