如何在Python中执行坐标仿射变换？

Question

我想对这个示例数据集进行转换。
这里有四个已知的点，它们在一个坐标系统[primary_system]中的坐标是x、y、z；还有另外四个已知的点，它们在另一个坐标系统[secondary_system]中的坐标是x、y、h。
这些点是对应的；比如说，primary_system1的点和secondary_system1的点其实是同一个点，只是我们在两个不同的坐标系统中有它的坐标。
所以我这里有四对调整点，想根据这些调整点把另一个点的坐标从主坐标系统转换到次坐标系统。

primary_system1 = (3531820.440, 1174966.736, 5162268.086)
primary_system2 = (3531746.800, 1175275.159, 5162241.325)
primary_system3 = (3532510.182, 1174373.785, 5161954.920)
primary_system4 = (3532495.968, 1175507.195, 5161685.049)

secondary_system1 = (6089665.610, 3591595.470, 148.810)
secondary_system2 = (6089633.900, 3591912.090, 143.120)
secondary_system3 = (6089088.170, 3590826.470, 166.350)
secondary_system4 = (6088672.490, 3591914.630, 147.440)

#transform this point
x = 3532412.323 
y = 1175511.432
z = 5161677.111<br>

目前我尝试通过这四对点来计算x、y和z轴的平均平移，比如说：

#x axis
xt1 =  secondary_system1[0] - primary_system1[0]           
xt2 =  secondary_system2[0] - primary_system2[0]
xt3 =  secondary_system3[0] - primary_system3[0]
xt4 =  secondary_system4[0] - primary_system4[0]

xt = (xt1+xt2+xt3+xt4)/4    #averaging

...接着对y和z轴做同样的计算

#y axis
yt1 =  secondary_system1[1] - primary_system1[1]           
yt2 =  secondary_system2[1] - primary_system2[1]
yt3 =  secondary_system3[1] - primary_system3[1]
yt4 =  secondary_system4[1] - primary_system4[1]

yt = (yt1+yt2+yt3+yt4)/4    #averaging

#z axis
zt1 =  secondary_system1[2] - primary_system1[2]           
zt2 =  secondary_system2[2] - primary_system2[2]
zt3 =  secondary_system3[2] - primary_system3[2]
zt4 =  secondary_system4[2] - primary_system4[2]

zt = (zt1+zt2+zt3+zt4)/4    #averaging

所以上面我试着为每个轴计算平均平移向量

Answer 1

你要找的映射似乎是仿射变换。四个不在同一平面上的三维点正好是恢复仿射变换所需的点数。简单来说，仿射变换就是用一个矩阵去乘以点，然后再加上一个向量。

secondary_system = A * primary_system + t

现在的问题就是找到合适的矩阵A和向量t。我觉得这段代码可能对你有帮助（抱歉代码风格不好——我是一名数学家，不是程序员）。

import numpy as np
# input data
ins = np.array([[3531820.440, 1174966.736, 5162268.086],
                [3531746.800, 1175275.159, 5162241.325],
                [3532510.182, 1174373.785, 5161954.920],
                [3532495.968, 1175507.195, 5161685.049]]) # <- primary system
out = np.array([[6089665.610, 3591595.470, 148.810],
                [6089633.900, 3591912.090, 143.120],
                [6089088.170, 3590826.470, 166.350],
                [6088672.490, 3591914.630, 147.440]]) # <- secondary system
p = np.array([3532412.323, 1175511.432, 5161677.111]) #<- transform this point
# finding transformation
l = len(ins)
entry = lambda r,d: np.linalg.det(np.delete(np.vstack([r, ins.T, np.ones(l)]), d, axis=0))
M = np.array([[(-1)**i * entry(R, i) for R in out.T] for i in range(l+1)])
A, t = np.hsplit(M[1:].T/(-M[0])[:,None], [l-1])
t = np.transpose(t)[0]
# output transformation
print("Affine transformation matrix:\n", A)
print("Affine transformation translation vector:\n", t)
# unittests
print("TESTING:")
for p, P in zip(np.array(ins), np.array(out)):
  image_p = np.dot(A, p) + t
  result = "[OK]" if np.allclose(image_p, P) else "[ERROR]"
  print(p, " mapped to: ", image_p, " ; expected: ", P, result)
# calculate points
print("CALCULATION:")
P = np.dot(A, p) + t
print(p, " mapped to: ", P)

这段代码演示了如何将仿射变换恢复为矩阵加向量，并测试初始点是否被映射到正确的位置。你可以在Google colab上测试这段代码，这样你就不需要安装任何东西了。

关于这段代码背后的理论：它基于“初学者的仿射映射指南”中提出的公式，矩阵恢复的内容在“标准表示的恢复”这一节中有描述，而需要多少个点来确定准确的仿射变换则在“我们需要多少个点？”这一节中讨论。同样的作者还发布了“仿射映射工作手册”，里面包含了很多实用的例子。

Answer 2

如果只是简单的平移和旋转，这种变换叫做仿射变换。

它的基本形式是：

secondary_system = A * primary_system + b

其中 A 是一个 3x3 的矩阵（因为我们在三维空间中），b 是一个 3x1 的平移向量。

这也可以写成：

secondary_system_coords2 = A2 * primary_system2,

其中：

• secondary_system_coords2 是向量 [secondary_system,1]，
• primary_system2 是向量 [primary_system,1]，

• A2 是一个 4x4 的矩阵：

  [   A   b ]
  [ 0,0,0,1 ]
  

（更多信息可以查看维基百科页面）。

所以，基本上你想要解决的方程是：

y = A2 x

求 A2，其中 y 是来自 secondary_system 的点，后面加个 1，x 是来自 primary_system 的点，也加个 1，A2 是一个 4x4 的矩阵。

现在如果 x 是一个方阵，我们可以这样求解：

A2 = y*x^(-1)

但 x 是 4x1 的。不过你运气不错，有 4 组 x 和 4 组对应的 y，所以你可以构造一个 4x4 的 x，像这样：

x = [ primary_system1 | primary_system2 | primary_system3 | primary_system4 ]

其中每个 primary_systemi 是一个 4x1 的列向量。y 也是一样。

一旦你得到了 A2，要把一个点从系统1转换到系统2，你只需这样做：

transformed = A2 * point_to_transform

你可以像这样设置（例如在 numpy 中）：

import numpy as np
def solve_affine( p1, p2, p3, p4, s1, s2, s3, s4 ):
    x = np.transpose(np.matrix([p1,p2,p3,p4]))
    y = np.transpose(np.matrix([s1,s2,s3,s4]))
    # add ones on the bottom of x and y
    x = np.vstack((x,[1,1,1,1]))
    y = np.vstack((y,[1,1,1,1]))
    # solve for A2
    A2 = y * x.I
    # return function that takes input x and transforms it
    # don't need to return the 4th row as it is 
    return lambda x: (A2*np.vstack((np.matrix(x).reshape(3,1),1)))[0:3,:]

然后这样使用它：

transformFn = solve_affine( primary_system1, primary_system2, 
                            primary_system3, primary_system4,
                            secondary_system1, secondary_system2,
                            secondary_system3, secondary_system4 )

# test: transform primary_system1 and we should get secondary_system1
np.matrix(secondary_system1).T - transformFn( primary_system1 )
# np.linalg.norm of above is 0.02555

# transform another point (x,y,z).
transformed = transformFn((x,y,z))

注意：这里当然会有数值误差，这可能不是解决变换的最佳方法（你可能可以使用某种最小二乘法）。

另外，将 primary_systemx 转换为 secondary_systemx 的误差（在这个例子中）大约是 10^(-2) 的数量级。

你需要考虑这是否可以接受（虽然看起来有点大，但如果和你的输入点相比，它们都是 10^6 的数量级，可能就可以接受）。