如何在Python中获取具有Mu和Sigma的对数正态分布？

Question

我一直在尝试使用lognormal分布来获取结果，使用的是Scipy库。我已经有了Mu和Sigma，所以不需要做其他准备工作。如果我需要更具体一点（而且我在统计方面的知识有限），我想说我在寻找累积分布函数（在Scipy中称为cdf）。问题是，我不知道如何仅用均值和标准差在0到1的范围内计算这个函数（也就是说，返回的结果应该是0到1之间的一个值）。我也不确定应该使用dist中的哪个方法来得到答案。我尝试过阅读文档和查看StackOverflow上的内容，但相关的问题（比如这个和这个）似乎没有提供我想要的答案。

这是我正在使用的代码示例。谢谢。

from scipy.stats import lognorm
stddev = 0.859455801705594
mean = 0.418749176686875
total = 37
dist = lognorm.cdf(total,mean,stddev)

更新：

经过一番努力和一些研究，我有了一些进展。但我仍然得到了错误的答案。下面是新的代码。根据R和Excel，结果应该是.7434，但显然不是这样。我是不是漏掉了什么逻辑上的错误？

dist = lognorm([1.744],loc=2.0785)
dist.cdf(25)  # yields=0.96374596, expected=0.7434

更新2： 这是一个有效的lognorm实现，得到了正确的0.7434结果。

def lognorm(self,x,mu=0,sigma=1):
   a = (math.log(x) - mu)/math.sqrt(2*sigma**2)
   p = 0.5 + 0.5*math.erf(a)
   return p
lognorm(25,1.744,2.0785)
> 0.7434

Answer 1

from math import exp
from scipy import stats

def lognorm_cdf(x, mu, sigma):
    shape  = sigma
    loc    = 0
    scale  = exp(mu)
    return stats.lognorm.cdf(x, shape, loc, scale)

x      = 25
mu     = 2.0785
sigma  = 1.744
p      = lognorm_cdf(x, mu, sigma)  #yields the expected 0.74341

和Excel以及R类似，上面的lognorm_cdf函数用mu和sigma来描述对数正态分布的累积分布函数（CDF）。

虽然SciPy使用shape、loc和scale参数来描述它的概率分布，但我觉得在讨论对数正态分布时，把这些参数看作变量层面的东西会更简单一些。下面我来解释一下...

一个对数正态变量X和一个正态变量Z之间的关系如下：

X = exp(mu + sigma * Z)              #Equation 1

这和下面的表达是一样的：

X = exp(mu) * exp(Z)**sigma          #Equation 2

我们可以稍微改写一下：

X = exp(mu) * exp(Z-Z0)**sigma       #Equation 3

其中Z0 = 0。这个方程的形式是：

f(x) = a * ( (x-x0) ** b )           #Equation 4

如果你能在脑海中想象这些方程，应该能清楚地看到方程4中的比例、形状和位置参数分别是a、b和x0。这意味着在方程3中，比例、形状和位置参数分别是exp(mu)、sigma和零。

如果你对这个不太清楚，我们可以把方程2改写成一个函数：

f(Z) = exp(mu) * exp(Z)**sigma      #(same as Equation 2)

然后看看mu和sigma对f(Z)的影响。下面的图保持sigma不变，改变mu。你应该能看到mu会在垂直方向上缩放f(Z)。不过，这种变化是非线性的；把mu从0改到1的影响小于把mu从1改到2的影响。从方程2中我们可以看到，exp(mu)实际上是线性缩放因子。因此，SciPy中的“scale”就是exp(mu)。

接下来的图保持mu不变，改变sigma。你应该能看到f(Z)的形状发生了变化。也就是说，当Z=0时，f(Z)的值是恒定的，而sigma影响f(Z)从水平轴偏离的速度。因此，SciPy中的“shape”就是sigma。

Answer 2

我知道这个问题有点晚了（差不多快一年了！），但我最近在研究scipy.stats中的lognorm函数。很多人对输入参数感到困惑，所以我希望能帮到这些人。上面的例子几乎是正确的，但我觉得把均值设置为位置参数（"loc"）有点奇怪——这意味着累积分布函数（cdf）或概率密度函数（pdf）在值大于均值之前是不会“起飞”的。此外，均值和标准差的参数应该分别用exp(Ln(均值))和Ln(标准差)的形式表示。

简单来说，参数是（x, shape, loc, scale），下面是这些参数的定义：

loc - 没有对应的值，这个值会从你的数据中减去，使得0成为数据范围的下限。

scale - exp μ，其中μ是变量对数的均值。（在拟合时，通常会使用数据对数的样本均值。）

shape - 变量对数的标准差。

我和大多数人一样，对这个函数感到困惑，所以我分享我的解决方案。要小心，因为没有一个全面的资源，解释可能不是很清楚。

如果想了解更多信息，我发现以下资源很有帮助：

• http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.lognorm.html#scipy.stats.lognorm
• https://stats.stackexchange.com/questions/33036/fitting-log-normal-distribution-in-r-vs-scipy

这里有一个例子，来自@serv-inc的回答，发布在这个页面 这里：

import math
from scipy import stats

# standard deviation of normal distribution
sigma = 0.859455801705594
# mean of normal distribution
mu = 0.418749176686875
# hopefully, total is the value where you need the cdf
total = 37

frozen_lognorm = stats.lognorm(s=sigma, scale=math.exp(mu))
frozen_lognorm.cdf(total) # use whatever function and value you need here

Answer 3

听起来你想根据已知的参数来创建一个“冻结”的分布。在你的例子中，你可以这样做：

from scipy.stats import lognorm
stddev = 0.859455801705594
mean = 0.418749176686875
dist=lognorm([stddev],loc=mean)

这样就会得到一个对数正态分布的对象，里面包含你指定的均值和标准差。然后你可以像这样获取概率密度函数（pdf）或累积分布函数（cdf）：

import numpy as np
import pylab as pl
x=np.linspace(0,6,200)
pl.plot(x,dist.pdf(x))
pl.plot(x,dist.cdf(x))

这就是你想要的意思吗？