线性与对数刻度

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提问于 2025-04-17 08:45

假设有一条长度为 X 像素的线，比如：

0-------|---V---|-------|-------|-------max

如果 0 <= V <= max，那么在普通的线性比例下，V 的位置可以用 X/max*V 像素来表示。

那么在对数比例下，我该如何计算像素位置呢？而从这个像素位置又如何得到 V 的值呢？

这不是作业
我想知道背后的数学原理（请不要说“用 FOO-plotlib”这种话）
我喜欢 Python

对数比例的效果是“放大”比例的左侧。那么，是否可以对右侧做同样的事情呢？

[更新]

谢谢你们的数学讲解！

最后我没有使用对数。我只是用一组值的平均值作为比例的中心。这个控制用于选择一组值的分界百分位数，这些值将用于绘制一个分级图。

如果用户选择对称比例（红色标记=平均值，绿色标记=中心，深度表示某个值出现的次数）： enter image description here

而不对称比例则更容易进行细微调整： enter image description here

数据可视化对数刻度百分位数数学原理线性刻度分级图对称比例不对称比例

3 个回答

这个可以很容易地扩展到其他功能上。我的空间度量是用字符来表示的，而不是用像素（这就是为什么最大值是字符（或像素））。
只适用于正值。

import math

def scale(myval, mode='lin'):
    steps = 7
    chars = max = 10 * steps

    if mode=='log':
        val = 10 * math.log10(myval)
    else:
        val = myval

    coord = []
    count = 0
    not_yet = True
    for i in range(steps):
        for j in range(10):
            count += 1
            if val <= count and not_yet:
                coord.append('V')
                not_yet = False
                pos = count
            elif j==9:
                coord.append('|')
            else:
                coord.append('*')

    graph = ''.join(coord)
    text = 'graph %s\n\n%s\nvalue = %5.1f   rel.pos. = %5.2f\n'
    print  text % (mode, graph, myval, chars * pos/max) 


scale(50, 'lin')
scale(50, 'log')

在这里输入图片描述

希望上面的内容不会被认为是FOO-plotlib。不过，真是的！这太棒了！:-)

回答于 2025-04-17 由 Python大师

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           Linear               Logarithmic
Forward    pos = V * X/max      pos = log(V) * X/log(max)
Reverse    V = pos * max/X      V = B^( pos * log(max)/X )

(B 是对数的底数)

显然，你必须确保 V 大于等于 1（当 V=1 时，对应的位置 pos=0；当 V 在 0 到 1 之间时，对应的值是从负无穷到 0；而当 V 小于 0 时，对数是没有定义的）。

回答于 2025-04-17 由 Python大师

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假设你有一个任意的值 V，并且你知道这个值的范围是 0 到 Vmax 之间。你想计算一个像素的 x 坐标，叫它 X，而你的“屏幕”上 x 坐标的范围是从 0 到 Xmax。按照你说的“正常”方式，你可以这样做：

X = Xmax * V / Vmax
V = Vmax * X / Xmax

我喜欢把这个过程想象成，首先把这个值归一化到 0 到 1 之间，方法是计算 V / Vmax，然后再把这个值乘以最大值，得到一个 0 到最大值之间的值。

如果你想用对数的方法来做同样的事情，你需要为 V 选择一个不同的下限。如果 V 小于等于 0，你就会遇到 ValueError 错误。所以我们假设 0 < Vmin <= V <= Vmax。接下来，你需要确定使用哪种对数，因为对数有无数种。常见的有三种，分别是以 2、e 和 10 为底的对数，这样得到的 x 轴看起来是这样的：

------|------|------|------|----      ------|------|------|------|----
    2^-1    2^0    2^1    2^2     ==       0.5     1      2      4

------|------|------|------|----      ------|------|------|------|----
    e^-1    e^0    e^1    e^2     ==       0.4     1     2.7    7.4

------|------|------|------|----      ------|------|------|------|----
    10^-1  10^0   10^1   10^2     ==       0.1     1     10     100

原则上，如果我们能从左边的表达式中得到指数，我们就可以使用和上面相同的原理，得到一个 0 到 Xmax 之间的值，这就是对数的用处。假设你使用的是底数 b，你可以用这些表达式进行相互转换：

from math import log
logmax = log(Vmax / Vmin, b)
X = Xmax * log(V / Vmin, b) / logmax
V = Vmin * b ** (logmax * X / Xmax)

这几乎是相同的思路，只是你需要先确保 log(somevalue, b) 会给你一个非负值。你可以通过在 log 函数内部除以 Vmin 来实现。接下来，你可以除以这个表达式能产生的最大值，当然就是 log(Vmax / Vmin, b)，这样你就会得到一个 0 到 1 之间的值，和之前一样。

另一种方法是先归一化 (X / Xmax)，然后再缩放回最大值 (* logmax)，以符合反函数的预期最大值。顺便说一下，反函数是将 b 进行指数运算。如果 X 是 0，那么 b ** (logmax * X / Xmax) 将等于 1，因此为了得到正确的下限，我们需要乘以 Vmin。换句话说，由于我们在反向操作时首先做的是除以 Vmin，所以现在我们最后一步需要乘以 Vmin。

要“放大”方程的“右侧”，你只需要交换方程，所以从 V 到 X 时进行指数运算，而反向时则取对数。原则上是这样的。不过，你还需要处理 X 可能为 0 的情况：

logmax = log(Xmax + 1, b)
X = b ** (logmax * (V - Vmin) / (Vmax - Vmin)) - 1
V = (Vmax - Vmin) * log(X + 1, b) / logmax + Vmin

回答于 2025-04-17 由 Python大师

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