加权元素组合，权重总和等于固定整数（用 Python 实现）

Question

我想找到一个集合中所有可能的加权元素组合，这些组合的权重总和恰好等于一个给定的权重W。

比如，我想从集合{ 'A', 'B', 'C', 'D', 'E' }中选择k个元素，权重是weights = {'A':2, 'B':1, 'C':3, 'D':2, 'E':1}，而W = 4。

这样的话，可能的组合有： ('A','B','E') ('A','D') ('B','C') ('B','D','E') ('C','E')

我知道一种简单的方法是找出给定集合的所有排列（用itertools.permutations），然后从中挑出前k个元素，看看它们的权重总和是否等于W。但我处理的集合至少有20个元素，这样做会非常耗费计算资源。

我觉得可以用一种变体的背包问题来解决这个问题，只考虑权重（而不是价值），并且权重的总和必须等于W（而不是小于W）。

我想用Python来实现这个，但任何计算机科学理论的提示都会很有帮助。如果能优雅地实现，那就更好了！

Answer 1

要高效地完成这个任务，有个小窍门，就是利用前面 k 个物品来创建一些总重量相同的元素集合。

从 k=0 开始，先创建一个空集合，然后通过从 k-1 的组合来生成 k 的组合。除非你能有负重量，否则可以把总重量超过 W 的组合去掉。

下面用你的例子来说明这个过程：

comb[k,w] 表示用前 k 个元素组成的，总重量为 w 的元素集合。
大括号用来表示集合。
S+e 是通过把元素 e 加到 S 中每个成员上来创建的集合。

comb[0,0]={}
comb[1,0]={comb[0,0]}
comb[1,2]={comb[0,0]+'A'}
comb[2,0]={comb[1,0]}
comb[2,1]={comb[1,0]+'B'}
comb[2,2]={comb[1,2]}
comb[2,3]={comb[1,2]'B'}
comb[3,0]={comb[2,0]}
comb[3,1]={comb[2,1]}
comb[3,2]={comb[2,2]}
comb[3,3]={comb[2,3],comb[2,0]+'C'}
comb[3,4]={comb[2,3]+'C'}
comb[4,0]={comb[3,0]}
comb[4,1]={comb[3,1]}
comb[4,2]={comb[3,2],comb[3,0]+'D'}
comb[4,3]={comb[3,3],comb[3,1]+'D'}
comb[4,4]={comb[3,4],comb[3,2]+'D'}
comb[5,0]={comb[4,0]}
comb[5,1]={comb[4,1],comb[4,0]+'E'}
comb[5,2]={comb[4,2],comb[4,1]+'E'}
comb[5,3]={comb[4,3],comb[4,2]+'E'}
comb[5,4]={comb[4,4],comb[4,3]+'E'}

最后的结果就是 comb[5,4]，可以简化为：

{
  {{'B'}+'C'},
  {{'A'}+'D'},
  {
    {{'A'}+'B'},
    {'C'},
    {'B'}+'D'             
  }+'E'
}

这样就得到了所有的组合。

Answer 2

你有没有想过这些集合里最多能有多少个项目？如果你知道这个数量不超过大约40个，那么可以使用一种叫做“中间相遇算法”的方法，这种算法在维基百科的“背包问题”页面上有介绍。这个算法比起直接暴力计算要简单得多，复杂度也低很多。

注意：如果使用比Python字典更节省内存的数据结构，这个方法也可以适用于更大的集合。一个高效的实现应该能够轻松处理大小为60的集合。

下面是一个示例实现：

from collections import defaultdict
from itertools import chain, combinations, product

# taken from the docs of the itertools module
def powerset(iterable):
     "powerset([1,2,3]) --> () (1,) (2,) (3,) (1,2) (1,3) (2,3) (1,2,3)"
     s = list(iterable)
     return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in xrange(len(s) + 1))

def gen_sums(weights):
    """Given a set of weights, generate a sum --> subsets mapping.

    For each posible sum, this will create a list of subsets of weights
    with that sum.

    >>> gen_sums({'A':1, 'B':1})
    {0: [()], 1: [('A',), ('B',)], 2: [('A', 'B')]}
    """
    sums = defaultdict(list)
    for weight_items in powerset(weights.items()):
        if not weight_items:
            sums[0].append(())
        else:
            keys, weights = zip(*weight_items)
            sums[sum(weights)].append(keys)
    return dict(sums)

def meet_in_the_middle(weights, target_sum):
    """Find subsets of the given weights with the desired sum.

    This uses a simplified meet-in-the-middle algorithm.

    >>> weights = {'A':2, 'B':1, 'C':3, 'D':2, 'E':1}
    >>> list(meet_in_the_middle(weights, 4))
    [('B', 'E', 'D'), ('A', 'D'), ('A', 'B', 'E'), ('C', 'B'), ('C', 'E')]
    """
    # split weights into two groups
    weights_list = weights.items()
    weights_set1 = dict(weights_list[:len(weights)//2])
    weights_set2 = dict(weights_list[len(weights_set1):])

    # generate sum --> subsets mapping for each group of weights,
    # and sort the groups in descending order
    set1_sums = sorted(gen_sums(set1).items())
    set2_sums = sorted(gen_sums(set2).items(), reverse=True)

    # run over the first sorted list, meanwhile going through the
    # second list and looking for exact matches
    set2_sums = iter(set2_sums)
    try:
        set2_sum, subsets2 = set2_sums.next()
        for set1_sum, subsets1 in set1_sums:
            set2_target_sum = target_sum - set1_sum
            while set2_sum > set2_target_sum:
                set2_sum, subsets2 = set2_sums.next()
            if set2_sum == set2_target_sum:
                for subset1, subset2 in product(subsets1, subsets2):
                    yield subset1 + subset2
    except StopIteration: # done iterating over set2_sums
        pass

Answer 3

遍历所有的 n! 排列组合太耗费资源了。我们可以改为生成所有的 2^n 子集。

from itertools import chain, combinations

def weight(A):
    return sum(weights[x] for x in A)

# Copied from example at http://docs.python.org/library/itertools.html
def powerset(iterable):
    "powerset([1,2,3]) --> () (1,) (2,) (3,) (1,2) (1,3) (2,3) (1,2,3)"
    s = list(iterable)
    return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in xrange(len(s) + 1))

[x for x in powerset({'A', 'B', 'C', 'D', 'E'}) if weight(x) == W]

这样可以得到

[('A', 'D'), ('C', 'B'), ('C', 'E'), ('A', 'B', 'E'), ('B', 'E', 'D')]

我们可以通过把列表推导式的返回部分改成 tuple(sorted(x))，或者把 powerset 中的 list 调用换成 sorted 来将其转换为排序后的元组。