高效解决密码术的问题方法

Question

嗨，我遇到了一个有趣的谜题，这个谜题属于一种著名的文字和数字结合的谜题，叫做密码算式。假设你有一个表达式：

S E N D + M O R E = M O N E Y

这里有个有趣的地方是，每个字母都代表一个独特的数字，范围是0到9。我想写一个通用的解法，但最后我写了一个暴力破解的解决方案。有没有人知道我该如何解决这个问题？

我觉得可以用谓词逻辑或者集合理论来解决这个问题。我特别想找到基于C#或Python的解决方案。有没有人能帮忙？

Answer 1

这里有一种高效的暴力破解方法，它会递归地遍历所有可能性，同时还考虑到特定问题的结构，从而加快解决问题的速度。

每个方法的前几个参数代表每个分支的尝试值，参数v1、v2等是还没有分配的值，可以以任何顺序传入。这个方法之所以高效，是因为它最多只需要尝试8x7x5种可能的解决方案，而不是通过暴力破解需要尝试的10!/2种可能性。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace ConsoleApplication1
{
    class Program
    {
        static void MESDYNR(int m, int s, int e, int d, int y, int n, int r, int v1, int v2, int v3)
        {
            // Solve for O in hundreds position
            // "SEND" + "M?RE" = "M?NEY"
            int carry = (10 * n + d + 10 * r + e) / 100;
            int o = (10 + n - (e + carry))%10;

            if ((v1 == o) || (v2 == o) || (v3 == o)) 
            {
                // check O is valid in thousands position
                if (o == ((10 + (100 * e + 10 * n + d + 100 * o + 10 * r + e) / 1000 + m + s) % 10))
                {
                    // "SEND" + "MORE" = "MONEY"
                    int send = 1000 * s + 100 * e + 10 * n + d;
                    int more = 1000 * m + 100 * o + 10 * r + e;
                    int money = 10000 * m + 1000 * o + 100 * n + 10 * e + y;

                    // Chck this solution
                    if ((send + more) == money)
                    {
                        Console.WriteLine(send + " + " + more + " = " + money);
                    }
                }
            }
        }

        static void MSEDYN(int m, int s, int e, int d, int y, int n, int v1, int v2, int v3, int v4)
        {
            // Solve for R
            // "SEND" + "M*?E" = "M*NEY"
            int carry = (d + e) / 10;
            int r = (10 + e - (n + carry)) % 10;

            if (v1 == r) MESDYNR(m, s, e, d, y, n, r, v2, v3, v4);
            else if (v2 == r) MESDYNR(m, s, e, d, y, n, r, v1, v3, v4);
            else if (v3 == r) MESDYNR(m, s, e, d, y, n, r, v1, v2, v4);
            else if (v4 == r) MESDYNR(m, s, e, d, y, n, r, v1, v2, v3);
        }

        static void MSEDY(int m, int s, int e, int d, int y, int v1, int v2, int v3, int v4, int v5)
        {
            // Pick any value for N
            MSEDYN(m, s, e, d, y, v1, v2, v3, v4, v5);
            MSEDYN(m, s, e, d, y, v2, v1, v3, v4, v5);
            MSEDYN(m, s, e, d, y, v3, v1, v2, v4, v5);
            MSEDYN(m, s, e, d, y, v4, v1, v2, v3, v5);
            MSEDYN(m, s, e, d, y, v5, v1, v2, v3, v4);
        }

        static void MSED(int m, int s, int e, int d, int v1, int v2, int v3, int v4, int v5, int v6)
        {
            // Solve for Y
            // "SE*D" + "M**E" = "M**E?"
            int y = (e + d) % 10;

            if (v1 == y) MSEDY(m, s, e, d, y, v2, v3, v4, v5, v6);
            else if (v2 == y) MSEDY(m, s, e, d, y, v1, v3, v4, v5, v6);
            else if (v3 == y) MSEDY(m, s, e, d, y, v1, v2, v4, v5, v6);
            else if (v4 == y) MSEDY(m, s, e, d, y, v1, v2, v3, v5, v6);
            else if (v5 == y) MSEDY(m, s, e, d, y, v1, v2, v3, v4, v6);
            else if (v6 == y) MSEDY(m, s, e, d, y, v1, v2, v3, v4, v5);
        }

        static void MSE(int m, int s, int e, int v1, int v2, int v3, int v4, int v5, int v6, int v7)
        {
            // "SE**" + "M**E" = "M**E*"
            // Pick any value for D
            MSED(m, s, e, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7);
            MSED(m, s, e, v2, v1, v3, v4, v5, v6, v7);
            MSED(m, s, e, v3, v1, v2, v4, v5, v6, v7);
            MSED(m, s, e, v4, v1, v2, v3, v5, v6, v7);
            MSED(m, s, e, v5, v1, v2, v3, v4, v6, v7);
            MSED(m, s, e, v6, v1, v2, v3, v4, v5, v7);
            MSED(m, s, e, v7, v1, v2, v3, v4, v5, v6);
        }


        static void MS(int m, int s, int v1, int v2, int v3, int v4, int v5, int v6, int v7, int v8)
        {
            // "S***" + "M***" = "M****"
            // Pick any value for E
            MSE(m, s, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8);
            MSE(m, s, v2, v1, v3, v4, v5, v6, v7, v8);
            MSE(m, s, v3, v1, v2, v4, v5, v6, v7, v8);
            MSE(m, s, v4, v1, v2, v3, v5, v6, v7, v8);
            MSE(m, s, v5, v1, v2, v3, v4, v6, v7, v8);
            MSE(m, s, v6, v1, v2, v3, v4, v5, v7, v8);
            MSE(m, s, v7, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v8);
            MSE(m, s, v8, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7);
         }

        static void Main(string[] args)
        {
            // M must be 1
            // S must be 8 or 9
            DateTime Start = DateTime.Now;
            MS(1, 8, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 0);
            MS(1, 9, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0);
            Console.WriteLine((DateTime.Now-Start).Milliseconds);
            return;
        }
    }
}

Answer 2

这个问题其实很小，所以用暴力破解的方法也不是坏主意。假设每个字母都必须代表一个独特的数字（也就是说，我们不允许像 S = 9, M = 1, * = 0 这样的情况），那么我们需要尝试的组合数量就是 n!，其中 n 是这个加密算式中独特字母的数量。理论上，最大需要评估的组合数量是 10! = 3 628 800，对于计算机来说，这个数字其实很小。

如果我们允许多个字母代表相同的数字，那么需要尝试的组合数量就会被限制在 10^n，同样的，n 还是独特字母的数量。假设只使用大写字母的话，理论上最大组合数量可以达到 10^26，所以在这种最坏情况下，我们可能需要一些启发式的方法。不过，大多数实际的加密算式中，独特字母的数量远远少于26，所以正常情况下，n 可能会小于10，这对于计算机来说也是相当合理的。

Answer 3

在2009年的PyCon大会上，Raymond Hettinger谈到了用Python进行人工智能编程，并介绍了密码算式。

你可以在这里观看整个演讲的视频，关于Python 2.6的解决方案可以在这个链接找到相关的食谱。