Python中的快速上升阶乘（Pochhammer函数）

Question

我需要计算大数字的上升阶乘，到目前为止我找到的最好的是来自sympy包的上升阶乘函数sympy包，这个函数确实不错，但我还是希望能有更快的版本。

我具体需要的是这个的一个非常快速的版本：

from itertools import combinations
from numpy import prod

def my_rising_factorial(degree, elt):
    return sum([prod(i) for i in combinations(xrange(1,degree),elt)])

编辑：

给定一个上升阶乘，x(n) = x (x + 1)(x + 2)...(x + n-1)，我想从它的展开公式中提取出某个特定的系数。

例如：

给定：x(6) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6)

以及它的展开形式：x(6) = x**6 + 15*x**5 + 85*x**4 + 225*x**3 + 274*x**2 + 120*x

我想以某种方式得到这些系数中的一个（在这个例子中是1, 15, 85, 225, 274, 120）。

用“my_rising_factorial()”这个方法可以做到……但速度真的很慢。

>>>[my_rising_factorial(6,i) for i in xrange (6)]
[1.0, 15, 85, 225, 274, 120]

Answer 1

这些就是无符号的第一类斯特林数。我没有快速计算它们的方法，但你可以利用它们遵循的一个简单的递归关系来计算：S(n,k) = (n-1)*S(n-1,k) + S(n-1,k-1)。

Answer 2

我知道的其他版本在 mpmath.qfunctions 和 scipy.special.orthogonal 这两个地方。

如果这些库的速度都不够快，或者SymPy也不够快，你可以试试PyPy（这是Python的另一种实现方式），它可以让运行速度更快。如果这样还是不行，可以尝试Psyco（一个扩展模块）、Shedskin或Nuitka（Python编译器）、Cython，或者直接用C语言来写。

Answer 3

试试这个包：http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/nzmath/

就像之前提到的，你想要的函数是第一类斯特林数（我之前已经算出了递归定义，准备发出来，但我不知道这个名字）。

这个函数是 nzmath.combinatorial.stirling1