Python中对向量化函数进行自适应矩形积分计算

Question

我在寻找一个超级强大的数值积分函数。它应该具备以下三个特点：

• 自适应 - 它能够自动调整采样点的密度，以适应被积函数。这一点非常重要，因为我的被积函数变化很大，而且计算起来很费劲。
• 向量化 - 它可以同时处理一组采样点，而不是一个一个地处理，这样效率更高。
• 能够处理向量值函数 - 被积函数的所有分量可以同时计算，不会增加额外的成本，所以没必要单独对每个分量进行积分。

此外，它还应该是：

• 二维的 - 我想计算的积分是一个平面区域上的双重积分，我希望能够指定一个整体的（相对的）容忍度，并且让它合理管理误差预算。

有没有人知道有这样的库？即使只有四个特点中的两个或三个也比没有要好。

我正在使用Python和SciPy，所以如果它已经可以和Python一起使用，那就更好了。（不过如果需要，我也能写一些代码来让它调用我的被积函数。）

Answer 1

quadrature 函数在 scipy.integrate 中可以满足你所需要的前两个条件。类似的 romberg 函数则使用了一种 不同的方法。

其他一些函数只满足其中一个条件：

• 同名的 quad 函数采用自适应的积分方法，但只支持一个标量参数的函数。你可以传入一个 ctypes 函数来提高性能，但普通的 Python 函数会非常慢。
• simps 函数和相关的采样方法可以接收一组（通常是均匀间隔的）样本，但它们不是自适应的。

你提到的第三个条件（同时对一个向量值函数进行积分）有点复杂，并且与接受向量化函数的能力相冲突（因为函数参数必须接受一个矩阵！）同样，计算双重积分的能力也会让函数的定义变得更加复杂。

在大多数情况下，quadrature 函数是最合适的选择。

Answer 2

我用过这个库，它能满足你所有的需求，只是它是用C语言写的。不过，它也有一个R语言的接口，所以你可以试着从Python调用R（这是可行的）。

http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/Cubature_(Multi-dimensional_integration)

或者，你可以通过ctypes来调用这个库（虽然不是特别简单，但也是可以做到的）。

Answer 3

我刚刚在quadpy中实现了针对一维和二维区域的向量自适应积分方法。你只需要提供你要计算的区域的三角剖分和你想要积分的函数。这个函数可以是向量值的。

你可以通过以下方式安装quadpy：

pip3 install quadpy

然后运行：

import numpy
import quadpy


triangles = numpy.array(
    [[[0.0, 0.0], [1.0, 0.0]], [[1.0, 0.0], [1.0, 1.0]], [[0.0, 1.0], [0.0, 1.0]]]
)

val, error_estimate = quadpy.triangle.integrate_adaptive(
    lambda x: [numpy.sin(x[0]), numpy.exp(x[0])], triangles, 1.0e-10
)

print(val)
print(error_estimate)

这样就会得到：

[ 0.45969769  1.71828183]
[  7.10494337e-12   3.68776277e-11]