为什么EIGS无法复现EIG在广义特征值问题中的结果？

Question

我有一个通用的特征值问题：

A**q = alpha**B*q

这里的 A 和 B 是复杂的方阵。

使用 eig 函数，我可以很容易地找到给定的 A 和 B 矩阵的正确答案：

from scipy import linalg
alpha, q = linalg.eig(A,B)

如果我把得到的特征值 alpha 在一个复平面上画出来，其中 alpha_r 是特征值的实部，alpha_i 是特征值的虚部：

现在我想用 Scipy 的 `eigs` 稀疏算法来解决同样的问题，但出现了一些奇怪的情况：

from scipy.linalg.sparse import eigs
alpha, q = eigs(A,k=40,B,sigma=1.0+0.0J)

我知道这可能和矩阵 A 和 B 的特性有关，但我不太清楚具体是什么。使用 eigs 本来应该更高效，特别是当矩阵是稀疏的时候。

这里你可以找到 A 和 B 的数据，还有 eig 和 eigs 的解：

https://drive.google.com/drive/folders/1p_3AZzRtFfF64P7Sh5tDEA-I-voRtfAi?usp=share_link

要加载数据：

import numpy as np

data  = np.load('YourPath/matrix.npz')
A     = data['A']
B     = data['B']
data  = np.load('YourPath/eig_result.npz')
alpha = data['alpha']
q     = data['q']
data  = np.load('YourPath/eigs_result.npz')
alpha = data['alpha']
q     = data['q']

Answer 1

一开始，我觉得这里没什么奇怪的。经过修正语法和导入错误后：

from scipy.sparse.linalg import eigs
alpha, q = eigs(A, 40, B, sigma=1 + 0j)

alpha包含了40个接近指定sigma的特征值。从你的图上看，这一点不太明显，但仔细一看，这些特征值似乎并不是通过scipy.linalg.eig返回的。实际上，当我指定一个不同的sigma，比如4+4j时，alpha会返回40个接近sigma的值——但这些值显然在你的图中并不存在。

我同意这不是一个理想的情况，但这可能是因为你的M矩阵（B）没有满足文档中规定的要求。

M：一个数组、稀疏矩阵或线性算子，表示广义特征值问题中的操作 M@x。

A @ x = w * M @ x。

如果 A 是实数，M 必须表示一个实对称矩阵；如果 A 是复数，M 必须表示一个复厄米矩阵。

A是复数，但你的B矩阵不是厄米的；所有非零的对角元素都是0 - 1j。