遍历所有大小为n的独特循环赛

Question

有一个循环赛，参与者有 n 个人。也就是说，每一对不同的参与者 i 和 j 都会互相比赛，比赛结果可以用一个有向图来表示，图中要么有一条从 i 指向 j 的边，要么有一条从 j 指向 i 的边。

假设 n 是 3，那么参与者就是 i、j 和 k。可能的情况是有一条边从 i 指向 j，从 j 指向 k，从 k 指向 i。还有一种可能是从 i 指向 k，从 k 指向 j，从 j 指向 i。但是如果我进行的操作不关心“参与者”的身份，那么这些比赛实际上是相同的。还有一种可能是从 i 指向 j，从 i 指向 k，从 j 指向 k，这属于另一种“类型”的三人比赛。

所以，我想写一个程序，最好是用 Python，能够遍历所有 n 个参与者的独特比赛。

我现在的解决方案是生成一个长度为 n * (n-1) / 2 的位字段，然后用它来填充邻接矩阵的上三角部分。然后，对于上三角中的每个 0，下面对应的地方就是 1。显然，这样可以找到所有 n 个人的循环赛，但实际上有很多比赛是相同的，这让程序运行得很慢。我并不指望 n 会大于 15，但现在的情况并不理想。

如果有人知道或者能推导出有多少个独特的 n 人循环赛的公式，那肯定会有帮助。

Answer 1

有多少种比赛形式？

在n个顶点上，未标记的比赛形式的数量可以通过OEIS中的序列A000568来查找，但没有简单的公式。（这里涉及到对n的划分进行求和…）

OEIS的链接提供了一个公式（对n的划分进行求和），并且还给出了在几种编程语言中实现这个公式的方法，包括Maple和Mathematica。

如果你想用Python来实现这个公式，我建议使用sympy库来获取n的划分。