Python中的RSA加密

Question

我决定用Python写一个简单的RSA加密程序，但每次运行时在解密的时候，都会出现错误 IndexError: list out of range，而且是在 find_key 这个地方。

这是错误信息：

p  937
q  353
n  330761
phi  329472
e  5
d  264609
Traceback (most recent call last):
  File "rsa.py", line 94, in 
    print dec_rsa(b, d, n)
  File "rsa.py", line 88, in dec_rsa
    char_array.append(decrypt_byte(i, d, n))
  File "rsa.py", line 77, in decrypt_byte
    return find_key(alpha, (c**d)%n)
  File "rsa.py", line 67, in find_key
    return [k for k, v in dic.iteritems() if v == val][0]
IndexError: list index out of range

这是代码：

import fractions, sys, random, math

def isPrime( no ):
    if no < 2: return False
    if no == 2: return True
    if not no&1: return False
    for x in range(3, int(no**0.5)+1, 2):
        if no%x == 0:
            return False
    return True

def primes_range(low, high):
    primes = []
    for i in range(high-low):
        if isPrime(i+low):
            primes.append(i+low)
    return primes

let = 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 0123456789~!@#$%^&*()_+'";:[]/<>,."
a, alpha = 2, {}
for i in let:
    alpha[i] = a
    a+=1

Low = 29
High = 1000
p = random.choice(primes_range(Low, High))
q = random.choice(primes_range(Low, High))
while p == q:
    q = random.choice(primes_range(Low, High))
print "p ",p
print "q ",q
#p = 104729
#q = 3

p, q = int(p), int(q)
n = p*q
phi = (p-1)*(q-1)
print "n ",n
print "phi ",phi

for i in range(2, q if q>p else p):
    if fractions.gcd(i, phi) == 1:
        e = i
        break
print "e ",e

def egcd(a,b):
    u, u1 = 1, 0
    v, v1 = 0, 1
    while b:
        q = a // b
        u, u1 = u1, u - q * u1
        v, v1 = v1, v - q * v1
        a, b = b, a - q * b
    return u, v, a

def modInverse(e, phi):
    return egcd(e, phi)[0]%n

d = modInverse(e, n)
print "d ",d

def find_key(dic, val):
    #print "val ",val
    #print "dic ",list(dic.iteritems())
    return [k for k, v in dic.iteritems() if v == val][0]

def encrypt_byte(byte, e, n):
    try:
        m = alpha[byte]
    except:
        m = int(byte)
    return (m**e)%n

def decrypt_byte(c, d, n):
    return find_key(alpha, (c**d)%n)

def enc_rsa(string, e, n):
    char_array = []
    for i in range(len(string)):
        char_array.append(encrypt_byte(alpha[string[i]], e, n))
    return char_array

def dec_rsa(enc_arr, d, n):
    char_array = []
    for i in enc_arr:
        char_array.append(decrypt_byte(i, d, n))
    return ''.join(char_array)

a = "hello, world"
b = enc_rsa(a, e, n)
#print b
print dec_rsa(b, d, n)

Answer 1

RSA的实现可以进一步简化，步骤如下：

1. 选择两个不同的大质数。为了简单起见，我们这里选择 p=937 和 q=353，就像例子中那样。

2. 计算 n = p*q。

3. 计算欧拉函数 φ(n) ≡ (p-1)*(q-1)。

4. 选择一个与 φ(n) 互质的公钥 e，为了简单，我们选择 e=5，这是一个质数。

5. 计算私钥 d，使得 d*e ≡ 1 (mod φ(n))，可以使用乘法逆元算法（扩展欧几里得算法），具体可以参考 这里：

计算 a 模 n 的乘法逆元

# solution t to a*t ≡ 1 (mod n) 

def multiplicative_inverse(a, n):

    t, newt = 0, 1
    r, newr = n, a

    while newr != 0:
        q = r // newr
        t, newt = newt, t - q * newt
        r, newr = newr, r - q * newr

    if t < 0:
        t = t + n

    return t

步骤 1-5 的 Python 代码：

p, q = 937, 353 # use large primes here
n = p*q
φ = (p-1)*(q-1)
e = 5 # choose public key e as a prime, s.t., gcd(φ, e) = 1
d = multiplicative_inverse(e, φ) # private key d
print(d)
# 131789

6. 在发送方使用接收方的公钥（e）加密消息（明文）。

7. 接收方用他的私钥（d）解密收到的密文。

下面的代码展示了如何进行加密和解密：

def rsa_encrypt(plain_text, e, n):
    # ideally we should convert the plain text to byte array and 
    # then to a big integer which should be encrypted, but here for the sake of 
    # simplicity character-by-character encryption is done, which will be slow in practice
    cipher_text = [ord(x)**e % n for x in plain_text]        
    return cipher_text

def rsa_decrypt(cipher_text, d, n):
    decoded_text = ''.join([chr(x**d % n) for x in cipher_text])
    return decoded_text 

现在，让我们使用上述函数进行加密和解密：

plain_text = 'Hello world'
cipher_text = rsa_encrypt(plain_text, e, n)
print(cipher_text)
# [296543, 169726, 215626, 215626, 293167, 147571, 122732, 293167, 217253, 215626, 102687]
decoded_text = rsa_decrypt(cipher_text, d, n)
decoded_text 
# Hello world

Answer 2

希望你在学习Python的过程中玩得开心！

有几点需要注意：

(1) 你的isPrime函数有问题：它认为1是质数，2和3不是，但实际上25、35、121、143、289、323、529、841、899都是质数。这样会导致后面出现问题。

(2) 你没有检查p和q是否相等。

(3) 你的alpha[str(byte)]应该改成alpha[byte]（否则你会得到“96llo, worl5”这样的结果）。

(4) 你计算的乘法模逆是错的。你应该用modInverse(e, phi(n))，而不是modInverse(e, n)；可以参考这个示例。

修正这些问题后，似乎就能正常工作了。

接下来这些不是错误，而是建议：你应该使用pow(c,d,n)而不是(c**d)%n；对于大数字，前者会快很多。此外，如果你想把字母转换成数字，而不在乎具体是什么数字，可以使用“ord”和“chr”函数，甚至不需要字典。总之，你可能想要交换字典中的键和值：现在你的find_key函数其实可以用列表来实现，因为你只是遍历所有的k,v对，直到找到匹配的。

希望这些对你有帮助！