有人能解释一下这种浮点行为吗？

Question

受到这个问题的启发，我想弄清楚到底发生了什么（我的理解比较直观，但我不太明白为什么会这样）。

我认为问题的关键在于这个（运行的是64位的Python）：

>>> sys.maxint
9223372036854775807
>>> float(sys.maxint)
9.2233720368547758e+18

Python使用的是IEEE 754浮点数表示法，这种表示法实际上有53位用于有效数字。不过，按照我的理解，上面例子中的有效数字需要57位（如果去掉隐含的前导1，则需要56位）才能表示。有人能解释一下这个差异吗？

Answer 1

当你把 sys.maxint 转换成浮点数（float 或 double）时，结果会是 0x1p63。这是因为它的有效数字只有 24 或 53 位（包括隐含位），所以后面的位数会导致四舍五入。（sys.maxint 是 2^63 - 1，四舍五入后变成 2^63。）

然后，当你打印这个浮点数时，有个小程序会把它格式化成十进制数字。为了做到这一点，它会计算出表示 2^63 的数字。能够打印出 9.2233720368547758e+18，并不意味着原来的数字和 9.2233720368547759e+18 有什么区别。这只是说明它的位数确实代表了 9.2233720368547758e+18（大约）。实际上，双精度浮点数中下一个可以表示的数字是 9223372036854777856（大约是 9.2233720368547778e+18），也就是 2^63 + 2048。因此，这些整数的低 11 位在浮点数中是不存在的。格式化程序只是把这个数字显示成好像那些位是零一样。

Answer 2

你错了。它只需要1个比特。

>>> (9.2233720368547758e+18).hex()
'0x1.0000000000000p+63'

Answer 3

也许下面的内容能帮助你更好地理解：

>>> hex(int(float(sys.maxint)))
'0x8000000000000000L'

这段代码显示，float(sys.maxint) 实际上是一个2的幂。所以，在二进制中，它的有效数字部分（也叫尾数）就是 1。在IEEE 754标准中，前面的 1. 是隐含的，因此在计算机内部表示这个数字时，它的有效数字部分全是零。

实际上，表示这个数字的IEEE位模式如下：

0x43E0000000000000

注意，只有前面三个“半字节”（即符号位和指数位）是非零的。有效数字部分完全由零组成。因此，它并不需要56位（实际上也不需要53位）来表示。