高斯的傅里叶变换不是高斯，但这不对！ - Python

Question

我正在尝试使用Numpy的fft函数，但是当我给这个函数一个简单的高斯函数时，得到的高斯函数的傅里叶变换（fft）并不是一个完整的高斯函数，而是被切成了两半，分别位于x轴的两端。

我计算的高斯函数是 y = exp(-x^2)

这是我的代码：

from cmath import *
from numpy import multiply
from numpy.fft import fft
from pylab import plot, show

""" Basically the standard range() function but with float support """
def frange (min_value, max_value, step):
    value = float(min_value)
    array = []
    while value < float(max_value):
        array.append(value)
        value += float(step)
    return array


N = 256.0 # number of steps
y = []
x = frange(-5, 5, 10/N)

# fill array y with values of the Gaussian function   
cache = -multiply(x, x)
for i in cache: y.append(exp(i))

Y = fft(y)

# plot the fft of the gausian function
plot(x, abs(Y))
show()

结果不太对，因为高斯函数的傅里叶变换应该还是一个高斯函数……

Answer 1

这个图表是以系数索引零为中心（也就是平均值）来显示的。所以看起来右边的部分在左边，反之亦然。

补充说明：看看下面的代码：

import scipy
import scipy.signal as sig
import pylab
x = sig.gaussian(2048, 10)
X = scipy.absolute(scipy.fft(x))
pylab.plot(x)
pylab.plot(X)
pylab.plot(X[range(1024, 2048)+range(0, 1024)])

最后一行代码会从向量的中心开始绘制X，然后再回到开头。

Answer 2

你的结果看起来根本不像一个高斯分布，甚至连分成两半的样子都没有。

要得到你想要的结果，你需要把自己的高斯分布放在索引0的位置，这样结果也会相应地调整。试试下面的代码：

from pylab import *
N = 128
x = r_[arange(0, 5, 5./N), arange(-5, 0, 5./N)]
y = exp(-x*x)
y_fft = fft(y) / sqrt(2 * N)
plot(r_[y[N:], y[:N]])
plot(r_[y_fft[N:], y_fft[:N]])
show()

这些绘图命令会把数组分成两半，然后交换它们的位置，这样看起来会更好看。

Answer 3

np.fft.fft 这个函数会返回一个结果，叫做“标准顺序”：(来自文档)

A = fft(a, n)，那么 A[0] 里包含的是零频率项（也就是信号的平均值），对于真实的输入，这个值总是纯实数。接下来，A[1:n/2] 里包含的是正频率项，而 A[n/2+1:] 里则包含的是负频率项，按照频率从负到更负的顺序排列。

函数 np.fft.fftshift 会把结果重新排列成大多数人习惯的顺序（这对于绘图也很有帮助）：

这个过程 np.fft.fftshift(A) 会把变换和它们的频率移动，使得零频率的成分位于中间...

所以使用 np.fft.fftshift 的效果是：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

N = 128
x = np.arange(-5, 5, 10./(2 * N))
y = np.exp(-x * x)
y_fft = np.fft.fftshift(np.abs(np.fft.fft(y))) / np.sqrt(len(y))
plt.plot(x,y)
plt.plot(x,y_fft)
plt.show()