使用np.fft.fft2和cv2.dft重现相位谱，结果为何不同？

Question

另一个问题在问如何正确地使用cv2.dft来获取幅度和相位谱。

我之前的回答主要是基于numpy的方法，后来我觉得用OpenCV来做这个会更好。目前我正在尝试复现相同的结果，但我发现相位谱有明显的差异。

以下是我的导入代码：

%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import cv2
im = np.zeros((50, 50), dtype = np.float32) # create empty array
im[2:10, 2:10] = 255 # draw a rectangle

这是使用numpy的示例和结果：

imFFTNumpy = np.fft.fft2(im)
imFFTNumpyShifted = np.fft.fftshift(imFFTNumpy)
magSpectrumNumpy = np.abs(imFFTNumpyShifted)
phaseSpectrumNumpy = np.angle(imFFTNumpyShifted)
fig, ax = plt.subplots(nrows = 1, ncols = 3)
ax[0].imshow(im)
ax[1].imshow(magSpectrumNumpy)
ax[2].imshow(phaseSpectrumNumpy)
plt.suptitle("Using Numpy np.fft.fft2 and np.abs/ np.angle")

这是使用OpenCV的示例和结果：

imFFTOpenCV = cv2.dft(im, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
imFFTOpenCVShifted = np.fft.fftshift(imFFTOpenCV)
magSpectrumOpenCV, phaseSpectrumOpenCV = cv2.cartToPolar(imFFTOpenCVShifted[:,:,0], imFFTOpenCVShifted[:,:,1])
fig, ax = plt.subplots(nrows = 1, ncols = 3)
ax[0].imshow(im)
ax[1].imshow(magSpectrumOpenCV)
ax[2].imshow(phaseSpectrumOpenCV)
plt.suptitle("Using OpenCV cv2.dft and cv2.cartToPolar")

从上面的结果可以看出，虽然幅度谱看起来差不多（因为浮点运算的原因，可能会有一些预期的偏差），但相位谱却有明显不同。我查了一下，发现OpenCV通常返回的相位范围是从0到2π，而np.angle返回的相位范围是从-π到+π。不过，从OpenCV的相位中减去π并不能解决这个差异。

这可能是什么原因呢？有没有可能用这两种方法得到几乎相同的相位，就像幅度一样？

Answer 1

主要问题是，numpy.angle 和 cv2.phase 这两个函数不能直接比较，因为它们的底层实现方式不同。

• numpy.angle 是在一个固定的范围内工作，也就是 (-π, π]。
• cv2.phase 使用的是 arctan2，这是一个分段定义的函数，它的输出结果会根据输入的符号（正负）而变化。因此，原作者提到“OpenCV 通常返回的相位范围是从 0 到 2π”，就是这个原因。

为了能比较这两个库中复数的相位，最简单的方法是忘掉 numpy.angle，直接使用 numpy.arctan2：

im = np.array([[1, 0, 1], [1, 0, 1], [1, 0, 1]], dtype=np.uint8)

# numpy
fft_np = np.fft.fft2(im)
phase_np = np.mod(np.arctan2(np.real(fft_np), np.imag(fft_np)) * 180/np.pi, 360)

# opencv
fft_cv = cv2.dft(np.float32(im), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
phase_cv = cv2.phase(fft_cv[:,:,1], fft_cv[:,:,0], angleInDegrees=True)

# display results
print(phase_np)
print(phase_cv)

输出结果

[[ 90.  30. 150.]
 [  0.   0.   0.]
 [  0.   0.   0.]]

[[ 90.        29.997692 150.0023  ]
 [  0.         0.         0.      ]
 [  0.         0.         0.      ]]

但这还不是结束！numpy.arctan2 可能会返回负角度，而 cv2.phase 始终是正的……所以你需要对结果进行一次完整周期的 取模 操作，可以是 360 或 2π。这可以通过 numpy.mod 来实现。

你可以在上面的例子中使用 [[1, 0, 1, 1], [0, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 1], [0, 0, 1, 0]] 来验证这一点。

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这里是 cv2.phase 的 numpy 对应实现：

def phase_np(x, y, angleInDegrees=False): # angle_np2cv
    if angleInDegrees:
        return np.mod(np.arctan2(x, y) * 180/np.pi, 360)
    return np.mod(np.arctan2(x, y), 2*np.pi)

另一个区别可能在于数据类型：np.fft2 使用的是 complex128，而在其上的计算（np.angle、np.arctan2 等）通常是 float64 类型。

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总结：cv2.cartToPolar 也是基于 arctan2 的，和 cv2.phase 一样，所以结论是相同的。

Answer 2

因为 imFFTOpenCV 是一个三维数组，OpenCV 不支持复数，所以 np.fft.fftshift(imFFTOpenCV) 会把实部和虚部的位置互换。也就是说，这个位置的交换会在数组的三个维度上都发生。

所以在计算相位和幅度的时候，你需要考虑到这个位置的交换：

magSpectrumOpenCV, phaseSpectrumOpenCV = cv2.cartToPolar(imFFTOpenCVShifted[:,:,1], imFFTOpenCVShifted[:,:,0])

另外，你也可以告诉 NumPy 你想要交换哪些轴，这样可能会更容易理解：

imFFTOpenCVShifted = np.fft.fftshift(imFFTOpenCV, axes=(0, 1))