优化多元多项式指数的生成器

Question

嗨，

我正在尝试找一个通用的方法来获取一个多变量多项式的指数，这个多项式的阶数是order，变量的数量是n_variables，就像在这个参考文献中的公式（3）所展示的那样。

这是我目前的代码，它使用了itertools.product这个生成器。

def generalized_taylor_expansion_exponents( order, n_variables ):
    """
    Find the exponents of a multivariate polynomial expression of order
    `order` and `n_variable` number of variables. 
    """
    exps = (p for p in itertools.product(range(order+1), repeat=n_variables) if sum(p) <= order)
    # discard the first element, which is all zeros..
    exps.next()
    return exps

我想要的输出是这样的：

for i in generalized_taylor_expansion_exponents(order=3, n_variables=3): 
    print i

(0, 0, 1)
(0, 0, 2)
(0, 0, 3)
(0, 1, 0)
(0, 1, 1)
(0, 1, 2)
(0, 2, 0)
(0, 2, 1)
(0, 3, 0)
(1, 0, 0)
(1, 0, 1)
(1, 0, 2)
(1, 1, 0)
(1, 1, 1)
(1, 2, 0)
(2, 0, 0)
(2, 0, 1)
(2, 1, 0)
(3, 0, 0)

其实这段代码运行得很快，因为生成器对象只被创建了一次。如果我想用这个生成器的值填充一个列表，执行速度就会变得很慢，主要是因为调用sum的次数太多。通常情况下，order和n_variables的值分别是5和10。

我该如何显著提高执行速度呢？

谢谢你的帮助。

达维德·拉萨尼亚

Answer 1

我会尝试用递归的方式来编写，这样可以只生成我们想要的那些元素：

def _gtee_helper(order, n_variables):
    if n_variables == 0:
        yield ()
        return
    for i in range(order + 1):
        for result in _gtee_helper(order - i, n_variables - 1):
            yield (i,) + result


def generalized_taylor_expansion_exponents(order, n_variables):
    """
    Find the exponents of a multivariate polynomial expression of order
    `order` and `n_variable` number of variables. 
    """
    result = _gtee_helper(order, n_variables)
    result.next() # discard the first element, which is all zeros
    return result

Answer 2

其实你最大的性能问题是你生成的大部分元组（tuple）都太大了，很多都是多余的，需要被丢掉。下面的代码应该能准确生成你想要的元组。

def generalized_taylor_expansion_exponents( order, n_variables ):
    """
    Find the exponents of a multivariate polynomial expression of order
    `order` and `n_variable` number of variables. 
    """
    pattern = [0] * n_variables
    for current_sum in range(1, order+1):
        pattern[0] = current_sum
        yield tuple(pattern)
        while pattern[-1] < current_sum:
            for i in range(2, n_variables + 1):
                if 0 < pattern[n_variables - i]:
                    pattern[n_variables - i] -= 1
                    if 2 < i:
                        pattern[n_variables - i + 1] = 1 + pattern[-1]
                        pattern[-1] = 0
                    else:
                        pattern[-1] += 1
                    break
            yield tuple(pattern)
        pattern[-1] = 0