程序化求解函数方程

Question

给定以下条件：

F(F(n)) = n

F(F(n + 2) + 2) = n

F(0) = 1

这里的 n 是一个非负整数。F(129) 等于多少？

我们该如何用程序来解决这种函数方程？我选择的编程语言是 Python。

Answer 1

根据@ivancho和@aaronasterling说的内容，我写了这个程序，应该可以解决你的问题：

def f(n):
    if not n:
        return 1
    else:
        return f(n-2)-2

>>> f(4)
-3

如果这不是你想要的，请留言告诉我。

Answer 2

函数方程，简单来说，就是一种数学问题，通常非常复杂。几乎所有国际数学竞赛都会有这样的题目，表面上看起来很简单，但实际上解决起来却很难。解决这些问题的方法有很多，从简单的归纳法到复杂的无限维分析都有，而用通用的编程方法来解决这些问题几乎是不可能的。

在这个具体的例子中，有一种直接的方法：

假设对于任何两个整数 m 和 n，我们有 F(m) = F(n) = k。那么根据这个假设，我们可以推导出 m = F(F(m)) = F(k) = F(F(n)) = n。这说明 m 和 n 是相等的，也就是说 F 函数在不同的输入下不会返回相同的值。但是我们知道 F(F(n)) = n，同时 F(F(n+2) + 2) 也等于 n，因此 F(n) 和 F(n+2) + 2 必须是相同的数。换句话说，F(n+2) = F(n) - 2 = F(n-2) - 4 = ...。现在我们知道 F(0) = 1，所以 F(1) = F(F(0)) = 0。那么 F(129) 就可以表示为 F(127) - 2 = F(125) - 4 = ... = F(1) - 128 = -128。

所以这就是你的解法，但实际上并没有一种机械的算法可以解决所有变种的问题。