使用傅里叶分析进行时间序列预测
对于那些有季节性或每日规律的数据，我想用傅里叶分析来进行预测。在对时间序列数据进行快速傅里叶变换（FFT）后，我得到了系数。那么，我该如何利用这些系数来进行预测呢？
我认为FFT假设它接收到的所有数据构成一个周期。因此，如果我简单地使用逆快速傅里叶变换（IFFT）重新生成数据，我实际上是在重新生成我的函数的延续。那么，我能否用这些值来预测未来的数据呢？
简单来说：我在t=0,1,2,..10时运行FFT，然后对系数使用IFFT，我能否将重新生成的时间序列用于t=11,12,..20呢？
4 个回答
当你对时间序列数据进行快速傅里叶变换（FFT）时，其实是在把数据从时间的角度转变为频率的角度。这个过程会用一些系数去乘以序列中的每一项（比如正弦、余弦或者复指数），每一项都有不同的频率。
外推（也就是根据已有的数据来推测未来的情况）总是有风险的，但你可以尝试一下。这样做其实是在用过去的信息来预测未来，比如“通过今天的天气来预测明天的天气”。不过，你要清楚这样做的风险。
我建议你读一下《黑天鹅》这本书。
我知道这个问题对你来说可能已经不再重要了，但为了那些还在寻找答案的人，我写了一个非常简单的Python傅里叶外推的例子，链接在这里：https://gist.github.com/tartakynov/83f3cd8f44208a1856ce
在运行这个脚本之前，请确保你已经安装了所有需要的库（numpy和matplotlib）。你可以随意尝试和实验一下。
另外，局部平稳小波（Locally Stationary Wavelet）可能比傅里叶外推更好用。LSW通常用于预测时间序列。傅里叶外推的主要缺点是它只是把你的数据序列重复N次，其中N是你时间序列的长度。
听起来你想要的是一种结合外推和去噪的方式。
你提到想要在多个周期内重复观察到的数据。那么，直接重复观察到的数据就可以了，不需要进行傅里叶分析。
不过，你还想找到“模式”。我猜这意味着要找出观察数据中主要的频率成分。如果是这样的话，那就进行傅里叶变换，保留最大的系数，其他的就去掉。
X = scipy.fft(x)
Y = scipy.zeros(len(X))
Y[important frequencies] = X[important frequencies]
关于周期性重复：设定 z = [x, x]，也就是信号 x 的两个周期。那么对于所有 k 在 {0, 1, ..., N-1} 中，Z[2k] = X[k]，其他的地方都是零。
Z = scipy.zeros(2*len(X))
Z[::2] = X