重新审视抛物线下的面积
我之前无法从之前的问题中找到答案，因为我不是这个网站的会员，所以回来的时候无法评论。现在我有个问题：
为了找出被图形y=x^2和x轴围起来的区域在[a,b]区间内的面积，我们可以通过画一些“薄薄的”矩形来近似这个区域，然后把这些矩形的面积加起来。我们可以把区间[a,b]分成n个宽度相同的小区间，宽度h=(b-a)/n。在每个小区间里，我们可以画一个矩形，矩形的高度y=r，其中r是这个小区间在x轴上的中间值。这个矩形的面积就是h乘以y。请写一个Python函数，接受a、b和n作为参数，并使用上述方法返回在抛物线y=x^2下的近似面积。如果你能解释一下你的程序为什么能这样工作，那就太好了。
感谢热心的成员，我找到了以下程序（请编辑这个程序，因为我不知道怎么做）
def parabola(x):
y = x*x
return y
def approx_area(fn, a, b, n):
"""
Approximate the area under fn in the interval [a,b]
by adding the area of n rectangular slices.
"""
a = float(a)
b = float(b)
area = 0.0
for slice in range(n):
left = a + (b-a)*slice/n
right = a + (b-a)*(slice+1)/n
mid = (left + right)*0.5
height = fn(mid)
width = right - left
area += height * width
return area
print "Area is", approx_area(parabola, -1.0, 1.0, 500)
不过，我需要把这个放在一个完整的函数里。你有什么想法吗？
2 个回答
这里有一个不错的可视化效果，可以在 这个链接 找到。
我们来看一下抛物线在a和b之间的部分，然后把它分成一系列垂直的矩形切片，每个矩形的顶部正好在抛物线上。
这样，每个矩形的一角就会“悬空”在抛物线的上面，而另一角则太低，留下了未填充的空间。因此，抛物线下的面积等于矩形的面积，加上一点，再减去一点。但是，我们怎么比较这些小部分呢？矩形的面积是多了一点，还是少了一点呢？
如果我们在矩形的顶部中心画一条切线，就可以“切掉”重叠的部分，把它翻过来，放到另一边；注意，这样做并不会改变矩形的总面积（现在变成了一个梯形）。
现在我们可以看到，在抛物线的两侧还有一点空间，所以梯形的面积稍微小于抛物线下的面积。我们可以把梯形的顶部看作是在抛物线底部形成的一系列直线段（这叫做“线性分段近似”）；而这些线段下的面积几乎和我们想要的实际面积相同，但总是稍微少一点。
那么，我们怎么才能把这个“稍微少一点”的量减到最小，以使我们计算的面积更准确呢？一种方法是使用曲线近似，而不是直线；这就引出了样条曲线（比如贝塞尔曲线、NURBS等）。另一种方法是使用更多的短线段，以“提高分辨率”。微积分把这个想法推向极限（有双关的意思），使用无限多个无限短的线段。
好吧，通过把函数改成 y = x 并尝试一些已知的输入值，我得出结论，它运行得很好：
0 .. 1 => 0.5
0 .. 2 => 2.0
1 .. 2 => 1.5
0 .. 9 => 40.5
如果你想把所有内容放在一个函数里，只需去掉 parabola()，把 approx_area() 函数的第一个参数（和调用）去掉，然后把：
height = fn(mid)
改成：
height = mid * mid
就像这样：
def approx_area(a, b, n):
"""
Approximate the area under fn in the interval [a,b]
by adding the area of n rectangular slices.
"""
a = float(a)
b = float(b)
area = 0.0
for slice in range(n):
left = a + (b-a)*slice/n
right = a + (b-a)*(slice+1)/n
mid = (left + right)*0.5
height = mid * mid
width = right - left
area += height * width
return area
print "Area is", approx_area(-1, 1, 500)
请注意，我通常不会给作业提供这么多明确的帮助，但因为你已经完成了大部分工作，所以这只是一个小小的推动，帮助你完成。
我建议你不要直接提交这段代码，因为简单的网络搜索就能轻易找到它，这样可能会影响你的成绩。
仔细研究它，彻底理解它是怎么工作的，然后尝试自己重新编码，而不是直接抄袭。相信我，这对你的职业生涯帮助会更大。
为了让你理解这个方法背后的理论，考虑一下函数 y = x 的一部分：
7 .
6 /|
5 / |
| |
| |
| |
| |
| |
0 +-+
567
顶部的中点 y 坐标（也是高度）是 (5 + 7) / 2，也就是 6，宽度是 2，所以面积是 12。
现在，这实际上是真实的面积，但这只是因为我们使用的公式。对于非线性公式，由于“线”的顶部的特性，会有一些不准确性。具体来说，在你的例子中，抛物线是弯曲的。
但是，随着你使用越来越薄的切片，这些不准确性会越来越小，因为任何线在缩短时都会趋向于一条直线（线性）。对于上面的例子，如果你把它分成两个切片，面积将是 5.5 x 1 和 6.5 x 1，总共 12。如果你的线不是直的，两个切片的结果会比一个切片的结果更接近真实值。
对于你的抛物线（但为了让我更简单，从 x = 0 .. 1 开始，只需把所有值翻倍到 x = -1 .. 1，因为它在 y 轴周围是对称的），在一个切片的情况下，最糟糕的情况是中点在 x = 0.5, y = 0.25，当你把这个 y 乘以宽度 1 时，得到的面积是 0.25。
用两个切片（宽度 = 0.5），中点在：
x y y x width
---- ------ ---------
0.25 0.0625 0.03125
0.75 0.5625 0.28125
---------
0.31250
所以那里的面积估计是 0.3125。
用四个切片（宽度 = 0.25），中点在：
x y y x width
----- -------- ----------
0.125 0.015625 0.00390625
0.375 0.140625 0.03515625
0.625 0.390625 0.09765625
0.875 0.765625 0.19140625
----------
0.32812500
所以那里的面积估计是 0.328125。
用八个切片（宽度 = 0.125），中点在：
x y y x width
------ ---------- -----------
0.0625 0.00390625 0.000488281
0.1875 0.03515625 0.004394531
0.3125 0.09765625 0.012207031
0.4375 0.19140625 0.023925781
0.5625 0.31640625 0.039550781
0.6875 0.47265625 0.059082031
0.8125 0.66015625 0.082519531
0.9375 0.87890625 0.109863281
-----------
0.332031248
所以那里的面积估计是 0.332031248。
正如你所看到的，这个值越来越接近真实的面积 1/3（我知道这一点，因为我懂微积分，见下文）。
希望这能帮助你理解你手上的代码。
如果你真的想知道这个是怎么工作的，你需要了解微积分，特别是积分和导数。这些方法可以将一个公式转化为另一个公式，用于计算线的斜率和线下的面积。
但是，除非你会经常使用它并需要真正的（数学上的）准确性，否则你可能只需使用你正在学习的近似方法。