处理多元多项式的库

Question

我需要写一些代码来生成和处理多变量的多项式。让我用一个简单的例子来说明我的任务。

假设我有三个表达式：2x²、3y + 1和1z。我需要把它们相乘，这样就会得到6x²yz + 2x²z。然后，我想要对这个表达式分别对x、y和z求偏导数。这样我会得到12xyz + 4xz、6x²z和6x²y + 2x²。

我的问题是，如何在包含成千上万变量的表达式上进行这样的简单操作，我需要一个系统化的简单方法。我很想用Python，因为我已经用numpy/scipy/matplotlib完成了很多相关的项目功能，但如果其他语言有好的工具箱，我也愿意尝试。我在做大学研究，所以我也愿意使用Matlab。

我还没找到任何好的Python库能轻松做到这一点，我理想中的工具是类似于scipy的多项式例程，能够处理多维多项式。有没有人知道适合这个问题的好库，并且容易与现有的Python代码集成？

谢谢！

后续：我花了几天时间使用sympy，发现它非常好用。不过，对于我正在处理的问题的规模来说，它的速度太慢了，所以我现在打算去探索Matlab。为了给出一个非常粗略的速度估计，计算一个包含250个变量的二阶多项式的每个偏导数大约花了5秒。

后续 #2：我可能应该在还在处理这个问题的时候就这样做，但我还是想告诉大家，Matlab的符号库在速度上与sympy非常接近。换句话说，对于大规模计算来说，它们都非常慢。这两个库都非常容易使用，所以对于小规模计算，我强烈推荐其中任意一个。

为了解决我的问题，我手动计算了梯度，简化了它们，然后用我发现的模式在代码中硬编码了一些值。这虽然工作量更大，但让我的代码速度提高了很多，最终变得可用。

Answer 1

你提到的Matlab和其他工具通常是用来做数字计算的。如果你需要进行符号计算，建议你考虑使用Mathematica或者其他的计算机代数系统（CAS）。你可以查看这个维基链接：http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_computer_algebra_systems，里面对各种CAS进行了比较。

Answer 2

如果你在用MATLAB的话，符号工具箱（symbolic TB）用起来很不错，前提是你有这个工具箱。如果没有的话，可以试试我的sympoly工具包。只需要从文件交换区下载就可以了。

sympoly x y z
A = 2*x^2; B = 3*y + 1;C = 1*z;
gradient(A*B*C)

ans =
Sympoly array has size = [1  3]

Sympoly array element [1  1]
    4*x*z + 12*x*y*z
Sympoly array element [1  2]
    6*x^2*z
Sympoly array element [1  3]
    2*x^2 + 6*x^2*y

注意，这里提到你在对结果进行关于z的微分时犯了个错误。

Answer 3

Sympy非常适合这个需求：http://code.google.com/p/sympy/

文档说明在这里：http://docs.sympy.org/

关于求导的教程示例可以在这里找到：http://docs.sympy.org/tutorial.html#differentiation

import sympy

x, y, z = sympy.symbols('xyz')

p1 = 2*x*x
p2 = 3*y + 1
p3 = z

p4 = p1*p2*p3

print p4

print p4.diff(x)
print p4.diff(y)
print p4.diff(z)

输出结果：

2*z*x**2*(1 + 3*y)
4*x*z*(1 + 3*y)
6*z*x**2
2*x**2*(1 + 3*y)