random.randint(1,10)会返回11吗？

Question

在研究这个问题并查看random.py的源代码时，我开始怀疑randrange和randint的表现是否真的和宣传的一样。我很倾向于相信它们是这样，但根据我的理解，randrange的实现基本上是这样的：

start + int(random.random()*(stop-start))

（假设start和stop都是整数值），所以randrange(1, 10)应该会返回一个在1到9之间的随机数。

randint(start, stop)实际上是调用randrange(start, stop+1)，因此返回的数字会在1到10之间。

我现在的问题是：

如果random()有可能返回1.0，那么randint(1,10)就会返回11，对吧？

Answer 1

来自Python文档：

几乎所有模块的功能都依赖于一个基本的函数random()，这个函数会生成一个随机的小数，范围是从0.0到1.0，但不包括1.0。

就像几乎所有生成随机小数的算法一样……

Answer 2

其他回答提到，random() 的结果总是严格小于 1.0；不过，这只是部分真相。

如果你用 int(random() * n) 来计算 randrange(n)，你还需要知道，对于任何满足 0.0 <= x < 1.0 的 Python 浮点数 x 和任何正整数 n，都有 0.0 <= x * n < n，因此 int(x * n) 一定小于 n。

这里可能出错的地方有两个：首先，当我们计算 x * n 时，n 会被隐式转换为浮点数。对于足够大的 n，这种转换可能会改变值。但是如果你查看 Python 的源代码，会发现它只在 n 小于 2**53 的情况下使用 int(random() * n) 方法（这里和下面假设平台使用的是 IEEE 754 双精度浮点数），这是转换 n 为浮点数时保证不会丢失信息的范围（因为 n 可以被准确表示为浮点数）。

第二个可能出错的地方是，乘法 x * n 的结果（现在是浮点数相乘）可能无法精确表示，因此会涉及一些舍入。如果 x 足够接近 1.0，那么舍入可能会把结果向上舍入到 n 本身。

为了证明这种情况不会发生，我们只需要考虑 x 的最大可能值，即在几乎所有运行 Python 的机器上都是 1 - 2**-53。所以我们需要证明 (1 - 2**-53) * n < n 对于我们的正整数 n 是成立的，因为总是会有 random() * n <= (1 - 2**-53) * n。

证明（简述）设 k 为唯一的整数，使得 2**(k-1) < n <= 2**k。那么 n 的下一个浮点数是 n - 2**(k-53)。我们需要证明 n*(1-2**-53)（即实际未舍入的乘积值）离 n - 2**(k-53) 更近，而不是离 n 更近，这样它就总是会被舍入到下方。但简单的算术表明，从 n*(1-2**-53) 到 n 的距离是 2**-53 * n，而从 n*(1-2**-53) 到 n - 2**(k-53) 的距离是 (2**k - n) * 2**-53。但是 2**k - n < n（因为我们选择了 k 使得 2**(k-1) < n），所以这个乘积确实离 n - 2**(k-53) 更近，因此它会被舍入到下方（假设平台采用某种形式的四舍五入）。

所以我们是安全的。呼！

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附录（2015-07-04）：上述假设使用的是 IEEE 754 binary64 算法，采用四舍五入到偶数的舍入模式。在许多机器上，这个假设是相当安全的。然而，在使用 x87 FPU 进行浮点运算的 x86 机器上（例如各种 32 位 Linux），在乘法中可能会发生 双重舍入，这使得 random() * n 在 random() 返回最大可能值的情况下有可能向上舍入到 n。发生这种情况的最小 n 是 n = 2049。更多讨论请见 http://bugs.python.org/issue24546。

Answer 3

来自 random.py 和文档的内容：

"""Get the next random number in the range [0.0, 1.0)."""

这里的 ) 表示这个区间是不包括 1.0 的。也就是说，它永远不会返回 1.0。

这是数学中的一个通用规则，[ 和 ] 表示包括这个数，而 ( 和 ) 表示不包括这个数。这两种括号可以混合使用，比如 (a, b] 或 [a, b)。想了解更多，可以看看 维基百科：区间（数学） 上的正式解释。