计算矩阵的零空间

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提问于 2025-04-15 23:40

我正在尝试解决一组方程，形式是 Ax = 0。这里的 A 是一个已知的 6x6 矩阵，我用下面的代码通过奇异值分解（SVD）来得到向量 x，这个方法在一定程度上是有效的。得到的答案大致是对的，但精度不够，无法满足我的需求。我该如何提高计算的精度呢？把 eps 降到 1.e-4 以下会导致函数出错。

from numpy.linalg import *
from numpy import *

A = matrix([[0.624010149127497 ,0.020915658603923 ,0.838082638087629 ,62.0778180312547 ,-0.336 ,0],
[0.669649399820597 ,0.344105317421833 ,0.0543868015800246 ,49.0194290212841 ,-0.267 ,0],
[0.473153758252885 ,0.366893577716959 ,0.924972565581684 ,186.071352614705 ,-1 ,0],
[0.0759305208803158 ,0.356365401030535 ,0.126682113674883 ,175.292109352674 ,0 ,-5.201],
[0.91160934274653 ,0.32447818779582 ,0.741382053883291 ,0.11536775372698 ,0 ,-0.034],
[0.480860406786873 ,0.903499596111067 ,0.542581424762866 ,32.782593418975 ,0 ,-1]])

def null(A, eps=1e-3):
  u,s,vh = svd(A,full_matrices=1,compute_uv=1)
  null_space = compress(s <= eps, vh, axis=0)
  return null_space.T

NS = null(A)
print "Null space equals ",NS,"\n"
print dot(A,NS)

线性方程组数值精度奇异值分解矩阵计算零空间

2 个回答

注意：在使用Python和Matlab的SVD（奇异值分解）时，可能会有些混淆。在Python中，使用numpy.linalg.svd(A)这个函数会返回三个矩阵u、s和v，使得u*s*v = A。严格来说，应该是dot(u, dot(diag(s), v)) = A，因为在numpy中，s是一个向量，而不是一个二维矩阵。

最上面的回答是正确的，通常你会写成u*s*vh = A，并且返回的是vh，而这个回答讨论的是v，而不是vh。

简单来说：如果你有矩阵u、s和v，使得u*s*v = A，那么v的最后几行，而不是最后几列，描述的是零空间。

补充说明：[对于像我这样的人:] 每一行的最后一个向量v0都满足A*v0 = 0（前提是对应的奇异值为0）。

回答于 2025-04-15 由 Python大师

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A 是满秩的——所以 x 是 0

看起来你需要一个最小二乘解，也就是想要找到 min ||A*x|| 使得 ||x|| = 1。你可以进行奇异值分解（SVD），这样可以得到 [U S V] = svd(A)，然后取 V 的最后一列（假设这些列是按奇异值从大到小排序的），这就是 x。

也就是说，

U =

     -0.23024     -0.23241      0.28225     -0.59968     -0.04403     -0.67213
      -0.1818     -0.16426      0.18132      0.39639      0.83929     -0.21343
     -0.69008     -0.59685     -0.18202      0.10908     -0.20664      0.28255
     -0.65033      0.73984    -0.066702     -0.12447     0.088364       0.0442
  -0.00045131    -0.043887      0.71552     -0.32745       0.1436      0.59855
     -0.12164      0.11611       0.5813      0.59046     -0.47173     -0.25029


S =

       269.62            0            0            0            0            0
            0       4.1038            0            0            0            0
            0            0        1.656            0            0            0
            0            0            0       0.6416            0            0
            0            0            0            0      0.49215            0
            0            0            0            0            0   0.00027528


V =

    -0.002597     -0.11341      0.68728     -0.12654      0.70622    0.0050325
   -0.0024567     0.018021       0.4439      0.85217     -0.27644    0.0028357
   -0.0036713      -0.1539      0.55281      -0.4961      -0.6516   0.00013067
      -0.9999    -0.011204   -0.0068651    0.0013713    0.0014128    0.0052698
    0.0030264      0.17515      0.02341    -0.020917   -0.0054032      0.98402
     0.012996     -0.96557     -0.15623      0.10603     0.014754      0.17788

所以，

而且，||A*x|| = 0.00027528，相比于你之前的解 x，那时 ||A*x_old|| = 0.079442

回答于 2025-04-15 由 Python大师

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