相位相关

Question

如何通过两张图片的相位相关性（使用快速傅里叶变换，简称fft）来确定旋转角度？在这个链接中提到的算法返回的是线性位移，而不是角度位移。它还提到需要将图片转换为对数极坐标才能计算旋转。那么在Python中如何进行这种转换呢？转换后，算法的步骤是否还是一样的？

Answer 1

我在这个问题上纠结了好一段时间。周末的时候我写了这个代码。虽然代码不是最干净的，但我只是个物理学家，不是程序员……

相位相关的原理其实很简单：用你喜欢的卷积算法把两张图片进行卷积。然后找到峰值的位置，这样就能得到旋转和缩放的差异。这个在维基百科上有详细解释（在问题中提到的链接里）。

我遇到的问题是找不到一个好的对数极坐标转换器，所以我自己写了一个。虽然这个转换器不是万无一失，但能完成任务。如果有人愿意重写一下，让它更清晰，请随意！

import scipy as sp
from scipy import ndimage
from math import *

def logpolar(input,silent=False):
    # This takes a numpy array and returns it in Log-Polar coordinates.

    if not silent: print("Creating log-polar coordinates...")
    # Create a cartesian array which will be used to compute log-polar coordinates.
    coordinates = sp.mgrid[0:max(input.shape)*2,0:360]
    # Compute a normalized logarithmic gradient
    log_r = 10**(coordinates[0,:]/(input.shape[0]*2.)*log10(input.shape[1]))
    # Create a linear gradient going from 0 to 2*Pi
    angle = 2.*pi*(coordinates[1,:]/360.)

    # Using scipy's map_coordinates(), we map the input array on the log-polar 
    # coordinate. Do not forget to center the coordinates!
    if not silent: print("Interpolation...")
    lpinput = ndimage.interpolation.map_coordinates(input,
                                            (log_r*sp.cos(angle)+input.shape[0]/2.,
                                             log_r*sp.sin(angle)+input.shape[1]/2.),
                                            order=3,mode='constant')

    # Returning log-normal...
    return lpinput

注意：这个代码是为灰度图像设计的。如果想处理彩色图像，可以通过对每个颜色通道分别使用map_coordinates()来轻松适配。

编辑：现在，做相关性计算的代码很简单。在你的脚本中导入了两张图片，分别命名为image和target后，接下来这样做：

# Conversion to log-polar coordinates
lpimage = logpolar(image)
lptarget = logpolar(target)

# Correlation through FFTs    
Fcorr = np.fft.fft2(lpimage)*np.conj(np.fft.fft2(lptarget))
correlation = np.fft.ifft2(Fcorr)

数组correlation应该包含一个峰值，其坐标代表大小差异和角度差异。此外，除了使用快速傅里叶变换（FFT），你也可以直接使用numpy的np.correlate()函数：

# Conversion to log-polar coordinates
lpimage = logpolar(image)
lptarget = logpolar(target)

# Correlation
correlation = np.correlate(lpimage,lptarget)

Answer 2

对数极坐标变换其实是对旋转和缩放不敏感的。旋转对应于在y轴上的移动，而缩放则对应于在x轴上的移动。

要在图像y中找到图像x，简单步骤如下：

1. 在图像y中找到图像x（可以使用相位相关法在笛卡尔坐标系中进行）。

2. 计算x和y的对数极坐标变换（这又是一个复杂的问题，具体可以参考下面的资料），确保在两个图像中都以相同的特征为中心。

3. 找到x和y的快速傅里叶变换，分别记为F(X)和F(y)。

4. 计算F(x)和F(y)的相位相关，称之为R。

5. 找到R的逆快速傅里叶变换（IFFT）。R的峰值对应于原始图像在Y轴上的旋转偏差和在X轴上的缩放偏差。

参考资料：

1. http://etd.lsu.edu/docs/available/etd-07072005-113808/unrestricted/Thunuguntla_thesis.pdf