使用scipy计算矩阵秩

Question

我想用scipy来计算一个矩阵的数学秩。最明显的函数是numpy.rank，它计算的是数组的维度（也就是说，标量的维度是0，向量是1，矩阵是2，等等）。我知道numpy.linalg.lstsq模块可以做到这一点，但我在想，是否有这样的基本操作已经内置在矩阵类里。

这里有一个具体的例子：

from numpy import matrix, rank
A = matrix([[1,3,7],[2,8,3],[7,8,1]])
print rank(A)

这个例子给出的维度是2，而我希望得到的答案是3。

Answer 1

如果 numpy 没有提供计算矩阵秩的功能，为什么不自己写一个呢？

计算矩阵秩的一个有效方法是使用奇异值分解。简单来说，矩阵的秩就是非零奇异值的数量。

def rank(A, eps=1e-12):
    u, s, vh = numpy.linalg.svd(A)
    return len([x for x in s if abs(x) > eps])

需要注意的是，eps 的值要根据你的具体应用来定。大多数人会认为 1e-12 可以视作零，但在某些情况下，即使是 eps=1e-9 也可能会出现数值不稳定的问题。

根据你的例子，答案是三。如果你把第二行改成 [2, 6, 14]（这行和第一行是线性相关的），那么答案就变成了二（“零”特征值是 4.9960E-16）。

Answer 2

这里提供了一个简单的代码示例，供需要实际操作的人参考。欢迎大家进行改进。

u, s, v = np.linalg.svd(A)
rank = np.sum(s > 1e-10)

Answer 3

Numpy 提供了一个叫做 numpy.linalg.matrix_rank() 的功能：

>>> import numpy
>>> numpy.__version__
'1.5.1'
>>> A = numpy.matrix([[1,3,7],[2,8,3],[7,8,1]])
>>> numpy.linalg.matrix_rank(A)
3